Posts Tagged tavtohrona

Mogoče ste vedeli – zanimivosti iz matematike/fizike

Profesor Ian Stewart je že od malih nog rad zbiral nevsakdanje matematične zanimivosti, ocvirke iz sveta abstraktnega in jih zbiral v svoji beležnici, ki je na koncu prerasla v celo zbirko bolj ali manj nenavadnih nalog, dejstev in teorij. Ker ima lahko še tako banalno zveneč problem zanimivo in netrivialno rešitev, sem se odločila, da predstavim par takih, nekaterih znanih iz šolskih klopi, drugih obskurnih, da še internet ne nudi zadovoljivih informacij o končnem spoznanju.

Kako izgleda najkrajša pot (omrežje), ki povezuje dane točke?

Problem, imenovan tudi Steiner Network (oz. Tree) Problem, ni samo neka matematična zanimivost, saj se s tem problemom srečajo vsi, ki morajo nekaj povezati, a bi radi prihranili na gradnji cest, povezav ali česa drugega. Za začetek lahko poskusite rešiti problem, kako tako povezati štiri točke v ogliščih kvadrata. Prva stvar, ki jo ugotovimo, je, da nikjer ne smemo dobiti zaključene povezave. Zakaj? Zagotovo lahko odstranimo najdaljši odsek, pa bodo še vedno vse točke povezane, oziroma povedano drugače, ni potrebno, da je vsaka točka povezana z vsako (kar bi bilo najbolj neumno narediti), pomembno je le, da obstaja pot od ene do druge točke, lahko tudi preko drugih točk. Pri kvadratu bi tako v naslednjem koraku poskusili s povezavo prek diagonal in se najbrž zadovoljili z rešitvijo, vendar to še ni najkrajša pot. Dokazano je bilo, da najkrajšo pot dobimo, če se poti sekajo pod kotom 120o.

Za majhno število točk je še dokaj enostavno poiskati minimalno povezavo, vendar problem kaj hitro preraste v nemogočega, saj pri številu točk, večjem od 30, niti najboljši računalniki ne morejo priti do konca problema. A kot se dostikrat pripeti, narava zna najti tako pot. Če bi v točke postavili paličice, nanje dali ploščo in čez vso konfiguracijo pihali milne mehurčke, bi opna mehurčkov, ki so se ujeli, zavzela obliko z najmanj energije, najmanjšo površino in posledično tudi potjo. Če bi tak eksperiment dejansko izvedli z velikim številom točk, ni nujno, da bi dobili najkrajšo pot (nekaj je vseeno naključnega pri takem poskusu, lahko se izoblikujejo povezave, ki niso najkrajše gledano globalno, temveč le lokalno), vendar lahko vseeno rečemo, da najkrajša povezava ustreza minimalni energiji milnih mehurčkov med točkami.

Kdor rad bere članke, naj si prebere še The Shortest-Network Problem.

Le kolikokrat se zgodi, da vrtičkarji premagajo izobražene ljudi? Večkrat kot bi si mislili.

Ali lahko v kocko izvrtamo takšno luknjo, da bo šla skoznjo enako velika kocka?

Verjeli ali ne, to lahko naredimo. Skozi samo dve stranici (sprednja in zadnja naprimer) to očitno ne bo šlo, vendar ne smemo pozabiti, da luknjo lahko izvrtamo v poljuben del kocke. Če kocko obrnemo tako, da proti nam gleda eno oglišče (vidimo tri stranice), lahko opazimo obris šestkotnika. Vanj lahko včrtamo kvadrat, ki ima stranico rahlo večjo od stranice kocke (približno 1.06-krat večjo oziroma natančno (3√2/4)-krat), zato lahko izvrtamo tako luknjo. Tako izdolbeni kocki se reče kocka princa Ruperta in če si težko predstavljate, kako bi izgledala, poglejte ta link, če pa bi radi sami naredili kakšno, poglejte sem.

Kako veliko kvadratno škatlo bi potreboval mlekar, da vanjo spravi n2 steklenic mleka oz. kako naj jih pakira?

V kvadratno škatlo steklenice mleka ponavadi zapakiramo tako, da ima vsaka le štiri sosede (pakiramo v kvadrate) in tako dobimo pakiranje, ki je kompaktno (nobena steklenica se ne more premikati, tudi razbiti ne). Mislili bi si, da je kvadratno pakiranje za kvadrate naravnih števil najbolj učinkovito in da z njim dobimo najmanjšo škatlo. Ko bolje premislimo, vidimo, da naletimo na problem. Vemo, da to ni najgostejše pakiranje (če pakiramo tako, da ima vsak krog še šest sosedov, dobimo najgostejše pakiranje, heksagonalno) in tako najverjetneje za zelo velika števila bolj ustreza pakiranje v šestkotnike kljub temu, da ne tvorijo kvadratne oblike. Za majhna števila pa zaradi ‘mejnih efektov’ blizu roba prevladuje mlekarjeva pogruntavščina. Rešitev je presenetljiva – za kvadrate do 62 ima mlekar prav, za naslednji kvadrat pa to že ne drži več. Dosti stvari se da ovreči/dokazati, če najdemo protiprimer in tako je tudi tu. Na sliki levo je pokazano pakiranje 49ih krogov, ki je rahlo bolj ekonomično od desnega. Postavitev izgleda zelo naključna, vendar vidimo par predelov, kjer so krogi spakirani v najgostejši sklad.

Levi kvadrat je malce manjši od desnega

Read the rest of this entry »

, , , , , , , , ,

4 Comments