Posts Tagged pi

Število pi – nekaj zanimivosti

Spet se bliža čas, ko pred hrupno množico stopijo mladi zanesenjaki in zdrdrajo čim več števk določenega števila. Ja, do 3.14. (kot pravijo Američani) je še čisto malo. Ne pozabite na vsakoletno recitiranje!

Foxtrot

Kako si ga zapomniti?

Ljudje prisegajo na različne metode – števke se učijo v sklopih, predstavljajo si jih napisane na listu, zraven prepevajo … vendar zagotovo najbolj zanimiv način (čeprav ne pretirano uporaben za več kot kakšnih dvajset števk) je mnemotehnika v obliki pesmic, kjer število črk v besedi pomeni vrednost števke – metoda ima celo svoje ime – piphilology. Seveda se bo enkrat pojavila ničla in pokvarila sistem, vendar so si zanesenjaki s kanček preveč časa izmislili drugačne dogovore, ki vsebujejo tudi ničlo.

Za pesniške duše so si ljudje izmislili pesmice na temo π:

Que j’aime a faire apprendre                                    Kako bi se rad naučil
Un nombre utile aux sages!                                     število uporabno za modrece.
Glorieux Archimède, artiste ingenieux,                   Veličastni Arhimed, genialni umetnik.
Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite!             Ti, iz Sirakuz, ki si še vedno zaslužiš hvale.

Sir, I bear a rhyme excelling
In mystic force, and magic spelling
Celestial sprites/spirits elucidate
All my own striving can’t relate.

Rahlo bolj razumljive so zgodbice, nekatere brez prave veze s številom, druge take, ki okoli njega stkejo pravo malo prigodo.

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. One is, yes, adequate even enough to induce some fun and pleasure for an instant, miserably brief. (še krajši in daljši)

V Matematičnem blefsikonu se najde tudi slovenska verzija, ki bi si zaslužila, da si jo zapomni vsak študent FMF.

Kar v bife k Majdi odjadramo po težkih vajah – pir omili glavobol, posledico groznih predavanj. (Knjiga pravi, da rahlo spremenjena verzija za profesorje zamenja pir s sokom, težko postane lahko in predavanja študenti, trdi pa tudi da boste tako ali drugačno različico našli na zidovih najbližje matematične fakultete.)

Malce bolj ambiciozna zgodba uporablja ločila namesto ničle (razen pike), besede daljše od 9 črk predstavljajo dve zaporedni števki in vsaka števka predstavlja samo sebe. Torej:

For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. Inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value: pi. Decimals expected soon. I nervously entered a format procedure. The mainframe processed the request. Error. I, again entering it, carefully retyped. This iteration gave zero error printouts in all – success.

Največ pohval glede te metode si zagotovo zasluži Mike Keith, ki je leta 1996 izdal kratko zgodbo Cadaeic Cadenza s 3835 besedami, ki upoštevajo načela piphilologije ter knjigo Not a Wake, ki združuje pesmi, kratke zgodbe, dramska dela … v 10 000 števkah π.

Kogar zanimajo še druge verzije, naj si pogleda wiki članek o tej temi.

xkcd

Kako ga izračunati?

Za prvo silo zadostuje 3.14 ali pa 22/7, vendar kako π dejansko izračunamo? Eno izmed prvih formul je na svet spravil François Viète, nanaša pa se na poligone z 2n stranicami:

\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} \times\dots

John Wallis je odkril formulo, ki si je ni težko zapomniti:

\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\frac{8}{7}\times\frac{8}{9}\times\dots

Še eno vrsto, ki si jo enostavno zapomniš, sta hkrati odkrila James Gregory in Gottfried Leibniz, vendar ta konvergira ekstremno počasi.

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\cdots

Pi pi pi pi pi piiiii - Brown sharpie

Zagotovo se boste kakšne od teh formul spomnili iz poglavja Fourierovih vrst.

 \frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\dots= \displaysytle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}
\frac{\pi^3}{32}=1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}-\frac{1}{11^3}+\dots= \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}}
\frac{\pi^4}{90}=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{6^4}+\cdots= \displaysytle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^4}}

Okoli leta 1985 sta Johnatan in Peter Borwein odkrila vrsto, ki je konvergirala izjemno hitro. Kako sta do nje prišla, si ne upam niti pomisliti, saj izgleda tako:

\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9,801} \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(4n)!}{(n)!^4}}\times\frac{1,103+26,390n}{(4\times 99)^{4n}}

Dvanajst let kasneje pa so drugi brat Borwein, David Bailey in Simon Plouffe objavili formulo, ki nam pomaga izračunati točno določeno števko π, ne da bi pri tem morali izračunati vse prejšnje. Res je, da s to formulo dobimo števke v šestnajstiškem sistemu, vendar pretvorba v desetiškega spet ni tako grozljivo težka, da se je ne bi splačalo narediti. Kaj več o BBP algoritmu si preberite na wiki strani, formula pa je takšna:

\pi= \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n}

Če želite izvedeti še kaj več o premnogih numeričnih aproksimacijah števila π, si oglejte še en wiki članek in se prepričajte, da π nastopa res povsod.

Vir: Ian Stewart: Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Robert Ainsley: Matematični blefsikon

Kako ga proslaviti?

Če še ne veste, kako bi proslavili 14. marec, namenite pogled tej strani, ki je polna idej, kaj početi na tak okrogel dan.

Ana

,

No Comments

Recitiranje števila pi 2010 edition

V ponedeljek, 15.3.2010, je potekalo že četrto tradicionalno recitiranje števila π. Zaradi pričakovanega velikega obiska se je tekmovanje v nasprotju s prejšnjimi leti, ko se je vse odvijalo v fizikalni knjižnici, na hodniku ali pred 2.01 na matematiki, preselilo na dvorišče med obe stavbi.

malo morje obiskovalcev

Ljudi se je kar trlo

Trije tekmovalci so tekmovali v standardni kategoriji – kdo pove več decimalk π-ja. Letos je bil izid najtesnejši doslej, saj je zmagovalec prehitel drugouvrščeno le za tri decimalke. A lanski rekord s 696. decimalkami ostaja še vedno neporažen. Končni rezultati so bili (z dodano gostobesednostjo tekmovalcev v decimalkah na sekundo):

1. mesto – Simon Čopar – 613 decimalk (2,22 dec/s)           nagrada: PIsker in prehodni pokal
2. mesto – Ajda Korošec – 610 decimalk (1,77 dec/s)           nagrada: PIng pong lopar in žogice
3. mesto – Jure Senegačnik – 205 decimalk (1,67 dec/s)       nagrada: PInot

Jure Senegačnik z nagradami v ospredju

Simon Čopar

Ajda Korošec

V nestandardni kategoriji se je pomeril tudi David Fabijan – π je zrecitiral v šestnajstiškem sistemu do 98. mesta (v tem sistemu π izgleda nekako takole: 3.243F6A8885 A308D31319 8A2E037073 44A4093822 299F31D008  2EFA98EC4E 6C89452821 E638D01377 BE5466CF…)

častna podelitev

Častna podelitev PI nagrad

Upamo na še veliko tradicionalnih recitiranj (samo da ne zmanjka besed na pi-, da bomo imeli kaj za podeliti zmagovalcem) in predlog za navdušence π-ja: šestnajstiški sistem je bil že preizkušen, čakamo na nekoga, ki se bo lotil binarnega π-ja. (11.0010010000 1111110110 1010100010 0010000101 1010001100 0010001101 0001100010 011… za tiste, ki bi se radi že takoj lotili tega podviga)

(še link za tiste, ki se ne morete ločiti od tega transcendentnega števila: joyofpi vsebuje povezave na marsikatero zanimivo stran, povezano s π-jem (kakšen link ne dela, a nič zato)

Ana

, ,

No Comments

In potem nam zmanjka še grških črk …

Stran Sixty Symbols nam nudi raznorazne kratke filmčke o raznovrstnih fizikalnih / matematičnih / astronomskih temah (od magičnih kvadratov, planetov, čudne stvari, ki se ji reče Hanny’s Voorwerp, do valovne funkcije (za njen video pravijo, da tudi če mislite, da ste ga razumeli, ga najverjetneje niste)), vsaka tema pa je predstavljena pod svojim simbolom.  No, v glavnem so to posnetki pogovorov z ljudmi, ki imajo o obravnavani temi kaj za povedati (večinoma so to člani Nottinghamske univerze). Videi niso mišljeni kot predavanja, a ti vseeno lahko ponudijo nov pogled na določeno tematiko ali na poljuden način približajo ne preveč ljubo snov.

simbol za Schrödingerjevo mačko je nadvse uporaben in enostaven za napisati

(ker so ugotovili, da je šestdeset ‘simbolov’ premalo, so jih še nekaj dodali, zato ne pozabite pregledati tudi teh)

, , ,

No Comments

Dovolj imamo pi-ja!

Pi je zagotovo najbolj znana matematična konstanta in lahko bi rekli tudi edina poznana širši javnosti, zato ni čudno, da so se privrženci popularizacije matematike odločili, da je skrajni čas, da svet seznanijo še z ostalimi, prav tako zanimivimi konstantami. Za začetek so izbrali konstanti e (znano tudi kot Eulerjevo število oz. Napierova konstanta), osnovo naravnih logaritmov in fi (oz. po angleško phi) (bolj znan kot zlati rez), saj sta v naravoslovju uporabni vsaj toliko kot pi in bi si zato zaslužili večjo prepoznavnost.
Od zdaj naprej bodo po hodnikih družboslovnih fakultet, na javnih straniščih, v vrtcih in drugih krajih, kjer je zaznati očitno pomanjkanje zanimanja za lepoto matematičnih konstant, viseli listi z izpisom decimalk vsakega od teh števil. Predlagalo se je že, da bi uvedli tudi tekmovanje v recitiranju števil fi in e, vsakega na dan, ki predstavlja približek, tj. 16. in 27. januarja. Prednost teh tekmovanj bi bila v tem, da bi tekmovalec, če bi zaradi treme pozabil kakšno števko, to z lahkoto kar na licu mesta izračunal, saj sta formuli za izračun teh konstant dokaj trivialni in sicer:
e\;= 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots
\phi\;=\;\frac{1+\sqrt{5}}{2}
Prav tako se bo organiziralo delavnice na ulicah v središču Ljubljane, kjer bodo mimoidoči lahko sodelovali pri računanju e in fi brez uporabe kalkulatorja (ali Mathematice), se pustili premeriti od glave do pet in tako izvedeli, kateri deli telesa so v razmerju zlatega reza, se naučili uporabljati logaritemsko računalo ali pa pograbili vodni balonček in ciljali na velik pi, ki bo stal sredi glavnega trga, okrašen z napisom ‘nič več najpomembnejša konstanta‘. Celoten niz dogodkov se bo zaključil s pogostitvijo, kjer ne bodo stregli pit, pistacij in piškotov, kot je bila navada pri pi-ju, temveč torte v obliki popolnega pravokotnika z napisi This cake totally pwns pi.

Našli pa so se tudi zagovorniki ideje, da je potrebno pi približati širšim množicam z uvedbo približka pi = 3. S tem so se zgledovali po zgodovinskih dejstvih, da so že Rimljani gradili s to aproksimacijo, stvari so pa vseeno stale pokonci. “Napaka, ki se pojavi pri taki uporabi, je manjša od 5% in za slehernika povsem sprejemljiva, saj še za polet na Luno ne potrebujemo pi na več kot 10 decimalk natančno,” je dejal predstavnik Društva za devolucijo pi-ja.

Vendar pa novi izračuni kažejo, da je doba pi-ja kot transcendentne konstante enkrat za vselej mimo, saj so zaradi napak zaokroževanja spregledali dejstvo, da se za 762. mestom začnejo periodično ponavljati števke 9. Tako bo pi končno odstopil svoje mesto drugim, manj predvidljivim konstantam in se v miru ‘upokojil’.
... in potem je bil pi racionalen.
Ana

,

9 Comments

Recitiranje števila pi

V ponedeljek, 16. marca, se je na Fakulteti odvijalo tekmovanje v recitiranju decimalk števila Pi.  Gre za tradicionalno tekmovanje na katerem je potrebno za zmago tekoče navesti več sto decimalk števila Pi. Letos pa so program popestrili še z natečajem za izvirno in predvsem enostavno meritev tega geometrijskega behemota.

Prva in edina skupina, prijavljena na meritev števila, je ubrala prav zanimiv pristop.  Iz izredno komplicirane formule moderne fizike so izrazili število Pi z ostalimi naravnimi konstantami. Svetlobno hitrost pa so vzeli za poznano konstanto, Boltzmanovo in Planckovo pa so prepisali iz starih praktikumskih poročil. Vrednost, ki so jo dobili, je res bila v velikostnem redu Pi-ja.

Druga skupina, ki se je prijavila prepozno in je nastopala izven konkurence, pa je imela prav zvit način, kako s pomočjo čisto vsakdanjih predmetov izmeriti število Pi. Iz značilne telesne velikosti so z vezalkami iz čevljev in mošnje s cekini naredili matematično nihalo. Rekli so si da je neznank preveč – težnostni pospešek in višina namreč. Tako so zasnovali drug del poizkusa: iz iste višine, kot je bila dolžina nihala, so spustili mošnjo na tla in merili čas padanja. Dve enačbi za nihajni čas in čas padanja delimo in dobimo izraz:

\sqrt{2\boldsymbol{\pi}}\;=\;\frac{t}{t_0}

Iz nekaj minutne meritve so Pi izmerili kot 3,07, torej zelo dobro.

Dogodek sta sponzorirala ŠOFMF in ŠS.

Janez

, ,

2 Comments