Archive for category matematika

Kako je fizik izumil Wall Street

Ne, naslov ni pretenciozen in samo_fiziko_všečen. Brez tako imenovane “Feynman-Kac formule” Wall Street dobesedno ne bi obstajal. Formula namreč povezuje svet stohastičnih procesov in parcialnih diferencialnih enačb.

Wall Street

Wall Street

Recimo, da imamo takšno PDE

\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = V(x,t) f
definirano za vse realne x in t na intervalu [0,T], s končnim pogojem \f(x,T)=\psi(x) pri čemer so \mu,\ \sigma,\ \psi, V znane funkcije, T je parameter in f neznana funkcija.

Formula Feynmana in Kac-a nam pove, da rešitev lahko zapišemo kot matematično upanje:

\ f(x,t) = E[ e^{- \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) | X_t=x ]

kjer je X Itōv process, ki ga lahko zapišemo kot

dX = \mu(X,t)\,dt + \sigma(X,t)\,dW,

kjer je W(t) Wienerjev proces (Brownovo gibanje), začetni pogoj za X(t) pa je X(0) = x.

Kaj je na tej formuli tako bistvenega za bliskovit razvoj in razcvet trga izvedenih finančnih instrumentov? Dejstvo, da lahko rešitev parabolične PDE zapišemo kot pričakovano vrednost Itovega procesa nam omogoča, da pričakovane vrednosti takšnih stohastičnih procesov računamo z numeričnimi metodami za reševanje PDE.

Procese, kot je zgornji, se v finančni matematiki uporablja za modeliranje cen izvedenih finančnih instrumentov ali t.i. derivativov. Za trgovanje s takimi vrednostnimi papirji je ključnega pomena, da se ceno računa tako rekoč v ‘realnem’ času, to pa z uporabo metod, kot je Monte Carlo ali kvazi Monte Carlo ne bi bilo mogoče, saj so enostavno prepočasne.

Itov integral Brownovega gibanja

Itov integral Brownovega gibanja

Klasične deterministične metode za reševanje difuzijske enačbe pa so dovolj hitre, da z njimi lahko računamo cene nešteto derivativov takorekoč v realnem času.

Formula Feynmana in Kac-a je bila tako leta 1950 ključnega pomena za začetek razvoja finačnih trgov, kot jih poznamo danes.

Beri še:
Itō’s lemma
Weiner process
Itō calculus
Kolmogorov equations

Benjamin

, ,

2 Comments

Le kaj sem spet dobil na mail …

Vsak jo ima. Osebo, ki poseduje vaš e-mail naslov in vas občasno zasipa z raznoraznimi power pointi lepih pokrajin, verižnimi pismi, ki krožijo po medmrežju že od samega začetka www ter smešnimi filmčki, pobranimi z Youtube-a. Na vsake toliko časa se najde tak mail, ki ima, verjeli ali ne, mnogo povezave z matematiko in fiziko (čeprav le kot izkoriščanje ali popolno nepoznavanje le-teh).

Izmisli si številko med 1 in 10 …

Zagotovo vam je že kdaj nekdo poslal povezavo do strani, na kateri trdijo, da vam bodo prebrali misli. Izmisliti si morate dvomestno številko, z njo narediti par računskih operacij, potem pa v tabeli izbrati simbol, ki ustreza vašemu odgovoru. V naslednjem koraku vam program ta isti simbol seveda pokaže. Kje je trik? Matematik bi takoj opazil, da so rešitve lahko le večkratniki števila 9, simboli pod temi večkratniki pa so vsi isti. Ker algoritem zahteva, da si izbereš dvomestno število in od njega odšteješ vsoto števk, to pomeni, da narediš 10x+y-(x+y)=9x, kar so seveda večkratniki števila 9.

Podobna taka je ‘okoljevarstvena’ Think of a Number. Pravi, da moraš izbrano število množiti s tri, kvadrirati in tako dolgo seštevati števke, da dobiš enomestno število. Kaj se zgodi naprej v resnici ni važno, saj je rezultat od tu za vsa začetna števila enak. Število po kvadriranju je zopet deljivo z 9, saj je oblike 9x2, vemo pa, da je število deljivo z 9, če ima vsoto števk enako 9, ali pa vsoto vsote števk, in tako dalje. V tem koraku bomo vsi dobili rezultat 9, kar sledi pa je samo še manipulacija z 9, da na prikrit način dobiš željen rezultat.

Očitno je 9 izvrstno število za tako imenovane bralce misli.

Čokolada ve, koliko sem star!

Mail z naslovom Računanje s čokolado izkorišča podoben trik kot prejšnja točka. Kdor pozna nekaj malega algebre, lahko takoj ugotovi, zakaj algoritem v takem sporočilu deluje (in tudi zakaj vsako leto znova in znova opozarjajo, da moraš to neverjetno stvar poskusiti do konca tekočega leta).  Navodila so:

Kolikokrat na teden si zaželiš čokolade (pomembno je, da je več od 2 in manj od 10, kar pravi tudi sporočilo): x
Pomnoži z dva: 2x
Prištej pet in pomnoži s petdeset:  50(2x+5) = 100x + 250
Če si letos že praznoval rojstni dan, prištej 1760, drugače 1 manj (ta številka se z vsakim novim letom spremeni): 100x + 2010 (oz. 100x + 2009)
Odštej letnico rojstva (recimo 1989): 100x + 2010-1989 = 100x + 21
Prva številka je število, ki smo si jo izmislili, drugi dve pa starost! Neverjetno.

Kot vidimo, imamo zamaskirano množenje s 100, ki poskrbi, da je izbrana številka na prvem mestu ter malce preveč očitno seštevanje, da dobimo tekoče leto. Ah, ja, ko bi bila vsa matematika tako sladka …

čokolada ...

Letošnji oktober je nekaj posebnega … pa kaj še

Pred kratkim je začel krožiti mail, ki trdi, da je letošnji oktober s svojimi petimi petki, sobotami in nedeljami nekaj posebnega, kar se zgodi na vsakih 823 let in, tako pravijo Kitajci, pomeni veliko denarja. V vraževerja ne verjamem, se mi je pa takoj zazdel sumljiv podatek o periodičnosti tega pojava. Kdor pozna problem, koliko različnih koledarjev dejansko potrebujemo za prikaz vseh možnih let, ve, da jih je 14 (1. januar pride na vsak dan v tednu + isto za prestopna leta) in da se vsi zvrstijo v 28 letih (trikrat navadni in enkrat po vsak s prestopnim letom). Ker naj bi bil ta oktober poseben, saj se začne na petek, bi bilo potrebno poiskati le taka leta in videli bi, da je naslednji že leta  2021, prejšnji je bil leta 2004, v 28 letih pa so vsaj štirje taki.

Mars velik kot luna, ki je modra! Ojej!

Že več let zapored sem okoli avgusta dobila mail, da naj tega in tega dne opazujem nočno nebo, saj bo Mars takrat nam najbližje in bo izgledal tako velik kot luna. Vsak človek, ki ima vsaj malo poznavanja astronomije, bi se ob taki izjavi prijel za glavo. Mars bi moral biti približno dvakrat dlje stran kot luna, da bi z Zemlje izgledal kot njen naravni satelit in če bi bil, bi najverjetneje namesto da zremo v nebo in se čudimo redkemu pojavu, trepetali ob misli, kaj zaboga dela drugi planet tako blizu. Sporočilo je mutiralo iz dejstva, da se je Mars 27. 8.2003 na svoji poti najbolj približal Zemlji in bil bolj svetel kot ponavadi, kar pa seveda ni pomenilo take bližine in romantičnih ‘dveh lun na nebu’.
Lani decembra je tudi krožilo sporočilo o modri luni istega meseca, kar pa je bilo rahlo zavajajoče. Luna seveda ni spremenila barve, temveč je najbrž nastal le napačen prevod besedila, v katerem je omenjen termin “blue moon”, fraza za drugi ščip, ki se pojavi v istem mesecu. Ker je ta padel ravno na Silvestrovo (zraven pa je bil še delni lunin mrk), je bilo to prav lepo za videti, čeprav ne pretirano barvito.

Tako blizu pa nikoli ne bodo.

Če ste tudi sami zapazili kakšne podobne maile, matematične trike, ki se pogosto pojavljajo ali pa znanstvene stvari, ki so popolnoma zgrešene, dodajte komentar.

Ana

, , , ,

2 Comments

Mogoče ste vedeli – zanimivosti iz matematike/fizike

Profesor Ian Stewart je že od malih nog rad zbiral nevsakdanje matematične zanimivosti, ocvirke iz sveta abstraktnega in jih zbiral v svoji beležnici, ki je na koncu prerasla v celo zbirko bolj ali manj nenavadnih nalog, dejstev in teorij. Ker ima lahko še tako banalno zveneč problem zanimivo in netrivialno rešitev, sem se odločila, da predstavim par takih, nekaterih znanih iz šolskih klopi, drugih obskurnih, da še internet ne nudi zadovoljivih informacij o končnem spoznanju.

Kako izgleda najkrajša pot (omrežje), ki povezuje dane točke?

Problem, imenovan tudi Steiner Network (oz. Tree) Problem, ni samo neka matematična zanimivost, saj se s tem problemom srečajo vsi, ki morajo nekaj povezati, a bi radi prihranili na gradnji cest, povezav ali česa drugega. Za začetek lahko poskusite rešiti problem, kako tako povezati štiri točke v ogliščih kvadrata. Prva stvar, ki jo ugotovimo, je, da nikjer ne smemo dobiti zaključene povezave. Zakaj? Zagotovo lahko odstranimo najdaljši odsek, pa bodo še vedno vse točke povezane, oziroma povedano drugače, ni potrebno, da je vsaka točka povezana z vsako (kar bi bilo najbolj neumno narediti), pomembno je le, da obstaja pot od ene do druge točke, lahko tudi preko drugih točk. Pri kvadratu bi tako v naslednjem koraku poskusili s povezavo prek diagonal in se najbrž zadovoljili z rešitvijo, vendar to še ni najkrajša pot. Dokazano je bilo, da najkrajšo pot dobimo, če se poti sekajo pod kotom 120o.

Za majhno število točk je še dokaj enostavno poiskati minimalno povezavo, vendar problem kaj hitro preraste v nemogočega, saj pri številu točk, večjem od 30, niti najboljši računalniki ne morejo priti do konca problema. A kot se dostikrat pripeti, narava zna najti tako pot. Če bi v točke postavili paličice, nanje dali ploščo in čez vso konfiguracijo pihali milne mehurčke, bi opna mehurčkov, ki so se ujeli, zavzela obliko z najmanj energije, najmanjšo površino in posledično tudi potjo. Če bi tak eksperiment dejansko izvedli z velikim številom točk, ni nujno, da bi dobili najkrajšo pot (nekaj je vseeno naključnega pri takem poskusu, lahko se izoblikujejo povezave, ki niso najkrajše gledano globalno, temveč le lokalno), vendar lahko vseeno rečemo, da najkrajša povezava ustreza minimalni energiji milnih mehurčkov med točkami.

Kdor rad bere članke, naj si prebere še The Shortest-Network Problem.

Le kolikokrat se zgodi, da vrtičkarji premagajo izobražene ljudi? Večkrat kot bi si mislili.

Ali lahko v kocko izvrtamo takšno luknjo, da bo šla skoznjo enako velika kocka?

Verjeli ali ne, to lahko naredimo. Skozi samo dve stranici (sprednja in zadnja naprimer) to očitno ne bo šlo, vendar ne smemo pozabiti, da luknjo lahko izvrtamo v poljuben del kocke. Če kocko obrnemo tako, da proti nam gleda eno oglišče (vidimo tri stranice), lahko opazimo obris šestkotnika. Vanj lahko včrtamo kvadrat, ki ima stranico rahlo večjo od stranice kocke (približno 1.06-krat večjo oziroma natančno (3√2/4)-krat), zato lahko izvrtamo tako luknjo. Tako izdolbeni kocki se reče kocka princa Ruperta in če si težko predstavljate, kako bi izgledala, poglejte ta link, če pa bi radi sami naredili kakšno, poglejte sem.

Kako veliko kvadratno škatlo bi potreboval mlekar, da vanjo spravi n2 steklenic mleka oz. kako naj jih pakira?

V kvadratno škatlo steklenice mleka ponavadi zapakiramo tako, da ima vsaka le štiri sosede (pakiramo v kvadrate) in tako dobimo pakiranje, ki je kompaktno (nobena steklenica se ne more premikati, tudi razbiti ne). Mislili bi si, da je kvadratno pakiranje za kvadrate naravnih števil najbolj učinkovito in da z njim dobimo najmanjšo škatlo. Ko bolje premislimo, vidimo, da naletimo na problem. Vemo, da to ni najgostejše pakiranje (če pakiramo tako, da ima vsak krog še šest sosedov, dobimo najgostejše pakiranje, heksagonalno) in tako najverjetneje za zelo velika števila bolj ustreza pakiranje v šestkotnike kljub temu, da ne tvorijo kvadratne oblike. Za majhna števila pa zaradi ‘mejnih efektov’ blizu roba prevladuje mlekarjeva pogruntavščina. Rešitev je presenetljiva – za kvadrate do 62 ima mlekar prav, za naslednji kvadrat pa to že ne drži več. Dosti stvari se da ovreči/dokazati, če najdemo protiprimer in tako je tudi tu. Na sliki levo je pokazano pakiranje 49ih krogov, ki je rahlo bolj ekonomično od desnega. Postavitev izgleda zelo naključna, vendar vidimo par predelov, kjer so krogi spakirani v najgostejši sklad.

Levi kvadrat je malce manjši od desnega

Read the rest of this entry »

, , , , , , , , ,

4 Comments

“Majmun” – fizikalni pristop


Ko sem se pred kratkim sprehajal po rivieri Malega Lošinja v sklopu svojega poletnega dopusta, mi je v oko padla zanimiva atrakcija za otroke: Nekakšen hibrid med trampolinom in milejšo verzijo bungeeja. Stvar se mi je zdela zabavna, odšel sem do upravljalca in ga vprašal, kakšne so možnosti, da skakajoči zadene enega od stranskih drogov. “Pa jako težko. Osim ako skačeš ko majmun uvijek u jednu stranu.” Mojemu dekletu je bil izraz smešen in tako sva tvor krstila “majmun”.

Seveda me je kot vsakega pravega fizika – ki je užival v analitični mehaniki – mikalo raziskati fazni prostor majmuna. S kozarcem Vranca v roki sem se punci širokoustil, da je problem dokaj enostaven in  bom gibalne enačbe rešil še naslednji dan, kar na papirju in brez kakršnihkoli numeričnih pripomočkov. Kako sem se uštel! Na začetku sem imel grozne probleme že z izbiro koordinatnega sistema. V kartezičnem sistemu je bil izraz za kinetično energijo preprost, medtem ko je bil zapis potencialov obupno zamotan. Ponižan po tem udarcu sem problem omejil samo na dve dimenziji, zanemaril trampolin in iskal pot prek dobre izbire generaliziranih koordinat. Na koncu sem se domislil spodnje skice:

majmun

Z zeleno so označene znane količine, torej, konstante, ki jih predhodno izberemo, z rdečo pa spremenljivke. Položaj mase “m” lahko ob vsakem trenutku povem s polarno notacijo – torej dolžino prve vzmeti “l” in kotom, ki ga vzmet oklepa s pokončnim nosilcem “φ”. Za obe vzmeti sem vzel isti koeficient raztezka “k”, “l0” pa je dolžina vzmeti v neraztegnjenem stanju in je enaka polovičnem razmaku med nosilcema. Količina “h”, torej dolžina druge vzmeti je enolično določena s kosinusnim izrekom. Po izvedbi Euler-Lagrangejevih enačb za obe koordinati dobimo sklopljeni diferencialni enačbi:

enacbe

Začetna predpostavka o lahki in analitični rešitvi očitno ni bila pravilna. S pomočjo Mathematice, ki seveda prav tako ni našla analitične rešitve, sem na koncu numerično rešil sistem in dobil nekaj lepih in zanimivih faznih portretov. Da pa se prepričamo o pravilnosti rešitve,  si poglejmo namišljen primer, kjer “izklopimo” gravitacijsko polje. Nosilca vzmeti sta 10 metrov narazen, maso 70 kg na začetku obesimo pod simetralo nosilcev, tako, da je kot φ = 40 stopinj = 0.69 radianov. Koeficient vzmeti je 100 N/m. Dobimo sledeč fazni portret:

prvaprva1
ki se s časom seveda ne spreminja, saj masa niha naravnost “gor in dol” brez kakršnegakoli upora in popolnoma simetrično – kot je tudi pričakovati . (Spodnji portret prikazuje isto stvar, le da so enote logaritmirane (oprostite mi – očitno je v Mathematici nemogoče nastavit logaritemski ParametricPlot. Vnaprej bodo vse slike narisane na tak način zaradi estetskih razlogov)). Nihanje pri teh pogojih je tudi analitično rešljivo (integrabilno). Read the rest of this entry »

, , ,

7 Comments

Zakaj sinus? Zakaj algebra?

Mnogo besed tehnične terminologije izvira bodisi iz grščine, bodisi iz latinščine ali jezikov, ki so se iz nje razvili. So v vsakodnevni ‘tehnični’ uporabi, vendar jih uporabljamo, ne da bi vedeli, kaj dejansko pomenijo. Kaj se skriva za besedo diagonala ali pa recimo algebra, matrika? Besede skrivajo več kot bi upali pričakovati …

Sinus: Od vseh ima sinus še najbolj zanimivo zgodovino, saj je posledica napačnega prevoda! Etimološko izvira iz besede ardha-jya (polovica tetive (oz. strune) v sanskrtu). Arabci so vzeli besedo jya oz. jiva in jo fonetično priredili v besedo jiba (beseda kot taka v tem jeziku nima pomena), kar se je po arabski praksi izpuščanja samoglasnikov zapisalo kot jb. Kasnejši pisci so tako, ne vedoč, da jb nima pravega pomena, besedo zapisali kot jaib, kar pomeni zaliv oz. guba. Sredi 12. stoletja je Gherardo iz Kremone zato to besedo v latinščino dobesedno prevedel kot sinus – zaliv. Če bi prevod ohranil prvotni pomen, bi mogoče tej trigonometrični funkciji danes rekli chordus. (vir1 in slovenski vir2)

Če že govorimo o trigonometričnih funkcijah, lahko omenimo še tangens, ki v latinščini pomeni dotikati se (kako prikladno), medtem ko sekanta (uganili ste) seka krog (seveda bi bilo zmotno misliti, da beseda izvira iz slovenščine, saj imata sekanta in sekati isti koren – v latinščini pomeni secans sekati).

Algebra: Vsi poznamo Pitagoro, Cauchya ali Leibniza, ampak kdo pozna matematika z imenom Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi? Redkokdo, kar je škoda, saj je napisal knjigo o reševanju enačb, Hidab al-jabr wal-muqubala, okoli leta 800 n.št. Besedi jabr in muqubala sta označevali dve osnovni operaciji s katerima rešujemo enačbe – jabr je pomenilo prenesti odštete člene na drugo stran, muqubalah pa pokrajšati člene na obeh straneh. Sčasoma se je opustila raba besede muqubalah in ta vrsta matematike je postala znana kot algebra (al-jabr).

Zanimivo je, da je beseda al-jabr v Evropo zašla tudi v nematematičnem smislu – algebrista je postal naziv za kiropraktika oz. osteopata, ravnalca kosti. V starih časih so se tako imenovali tudi brivci, saj so kot obstransko dejavnost izvajali tudi puščanje krvi in ‘ravnanje kosti’, od tu izhaja tudi rdeče-bela vrteča vijačnica na znaku pred brivnicami. (vir)

null

In če omenimo še ‘drugo vejo’ – analizo – ta izvira iz besede analusis – razgrajevati, razčlenjevati (a v angleščini jo pogosteje srečamo kot calculus).

Nabla: Če citiram profesorja Saksido na enem od predavanj: “Ali slučajno veste, zakaj se temu reče nabla?” *tišina? “Tudi jaz ne vem, zato sprašujem.” Nabla, Zlatko Zahovič elektromagnetnega polja (metafora je last Denisa Arčona), glavna akterka vektorske analize, je očitno ljudem velika uganka. Le redkokdo ve, da v resnici izhaja iz starogrške besede za hebrejsko harfo, ki je posedovala podobno obliko, kot jo dandanes simbol nabla (na začetku je bil simbol prekucnjen na bok). Nabli se včasih reče tudi atled, kar je posledica dejstva, da izgleda kot določena narobe obrnjena grška črka, v grščini se pa simbolu dejansko reče ανάδελτα (anádelta) oz. na glavo obrnjena delta.

null

Diferencial: Srečni smo lahko, da je v boju med Newtonom in Leibnizom glede poimenovanja zmagal slednji (četudi je zasluge za odkritje požel jabolkoljub), saj je imel angleški genij za odvode zveznih (oz. fluentnih, tekočih) funkcij, ki jih je označeval s piko nad simbolom, pripravljeno ime fluxions. Leibnizovi diferenciali (iz latinske differentia, razlika) so nam danes mnogo bolj poznani, naj pa omenim še, da je nemški matematik rad operiral s tako imenovanimi infinitezimalami (očitno ime za neskončno majhne stvari), ki pa so jim ugledni matematiki tistega časa radi rekli duhovi preminulih količin (ghosts of departed quantities).

+ še par drugih besed za dodatek
Diagonala – iz grške diagonios (dia – počez oz. skozi, gonia – kot), prešla v latinščino kot diagonus (poševna črta)
Skalar – iz angleškega scale (obseg števil, skala), ki izvira iz latinske besede za lestev – scala – prvič uporabljena šele leta 1846, ko je Hamilton opisoval realni del kvaterniona (bolj kompleksne stvari od kompleksnih števil)
Vektor – nosilec (iz latinskega vehere) in očiten vnos nemščine v matematiko – eigenvector in eigenvalue za lastna vektor in vrednost
Tenzor – iz latinskega tensus, mehanska napetost, tenzija
Matrika – iz latinske matrix, ki pomeni maternica, kar pa izvira iz besede mater, ki pomeni, glej glej, mati

Ana

, ,

2 Comments

Levi-Civita

225px-Levi-Civita_1930Italijanski matematik Tullio Levi-Civita je bil rojen leta 1873 v Padovi in tako kot večina slavnih znanstvenikov 20. stoletja je bil tudi on židovskega rodu. Diplomiral je leta 1894 na matematični fakulteti univerze v Padovi.

Poklicno se je ukvarjal predvsem s tenzorsko analizo in leta 1900 objavil delo “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, iz katerega je znanje črpal Albert Einstein pri matematični formulaciji svoje splošne teorije relativnosti. S kolegom Albertom sta sodelovala tudi kasneje pri razvoju teorije gravitacije, s svojim delom pa je prispeval tudi k Diracovim enačbam v kvantni mehaniki.

Fizikom je Levi-Civita znan predvsem po svojem simbolu ε. Dejansko je to tenzor tretjega ranga, v katerem nastopajo na prebrisan način razporejene vrednosti -1, 0 in 1. Poleg tega, da je tenzor izjemno uporaben, skriva še eno zanimivo lastnost. Če ga narišemo v trodimezionalni reprezentaciji in s črtami v dva trikotnika povežemo vrednosti 1 ter -1, opazimo zanimiv vzorec, ki silno spominja na Davidovo zvezdo, znan judovski simbol. Ni jasno, ali se je zvezda tam znašla namenoma ali po naključju, vsekakor pa nič ne pokvari uporabe Levi-Civitejevega tenzorja, marveč jo naredi celo bolj privlačno in vznemirljivo.

levi2

Ambrož

No Comments

Fraktalne strukture

Na pobudo nekaterih študentov objavljam svoj seminar o fraktalnih strukturah, ki sem ga letos opravil pri istoimenskem predmetu. Uredništvo FMF revije vsem toplo priporoča, da se znebite te dolžnosti čimprej po prihodu v tretji letnik. Pripombe in komentarje sprejemam na mitja.drab@gmail.com.

fraktali v resničnem življenju :)

Zgodovinsko ozadje

V preteklosti se je matematika ukvarjala predvsem z množicami in funkcijami, na katerih so bile lahko izvedljive operacije klasične analize. Funkcije, ki niso bile gladke ali zvezne so veljale za nevredne obravnave in zato velikokrat prezrte. Bile so dojete kot samostojne zanimivosti in le redko se je zdelo, da bodo kdaj našle prostor v splošni teoriji. Zgodovinsko se je koncept fraktala prvič pojavil leta 1872, ko je Karl Weierstrass predstavil primer grafa funkcije, ki je bila povsod zvezna, a nikjer odvedljiva. Leta 1904 je Helge von Koch, nezadovoljen z Weierstrassovo abstraktno definicijo podal opis v bolj geometrični obliki z likom, ki je danes znan kot Kochova snežinka. Začnemo z enakostraničnim trikotnikom, kateremu nato na vsako srednjo tretjino stranice narišemo enakostranični daljici tako, da ti dve spet tvorita enakostraničen trikotnik. Ta postopek nato ponovimo na šestih stranicah teh manjših trikotnikov in tako naprej. Z vsako iteracijo povečamo obseg lika za tretjino prejšnjega. Obseg Kochove krivulje je po n-ti iteraciji enak

 O_n = 3a(\frac{4}{3})^n

Kochova snežinka 

Kochova snežinka je krivulja, ki nastane, ko gre število iteracij prek vseh meja, njena posebna lastnost pa je, da ima končno ploščino in neskončen obseg. Po še toliko iteracijah lahko namreč lik vedno orišemo s krogom radija R = a / √3. Kmalu se je od raznih matematikov pojavilo še več krivulj s podobnimi “pošastnimi” lastnostmi: Preproga Sierpinskega, Mengerjeva spužva (telo z neskončno površino in prostornino nič), Cantorjeva množica (imenovana tudi “Cantorjev prah”, ali interval [0,1], ki mu na začetku izrežemo srednjo tretjino, nato pa ostankoma – intervaloma [0, 1/3] in [2/3, 1] izrežemo srednji devetini ter postopek tako nadaljujemo na neizrezanih delih) ter Lévyjeva “C” krivulja, če naštejemo le nekatere. Raziskave so potekale tudi z iteracijami raznih funkcij v kompleksni ravnini (Poincaré, Klein, Julia), a zaradi omejenih sposobnosti vizualizacije in grafičnega prikaza znantnega napredka ni bilo do 60. let 20. stoletja.

Drug poglaviten vidik, ki je ločil te nove objekte od navadnih evklidskih likov pa je karakteristična dolžina. Vse like ali telesa lahko razdelimo v dve skupini glede na to ali imajo karakteristično dolžino ali ne. Karakteristična dolžina je neka tipična razdalja, ki definira velikost telesa, o katerem govorimo. Pri človeku je to lahko recimo njegova višina ali dolžina stopal, pri krogu premer. Liki in telesa brez karakteristične dolžine pa so v splošnem fraktali.

Prvi pomembni koraki v razvoju fraktalne geometrije so se pojavili, ko je poljski matematik Benoit Mendelbrot leta 1967 v reviji Science objavil članek “How long is the coast of Britain?”. V prvem delu članka govori o paradoksu dolžine obale, ki, presenetljivo, zavzema različne vrednosti v odvisnosti od merila, v katerem jo merimo, saj nima karakteristične dolžine. Paradoks je povsem empiričen: Če se odoločimo, da bomo izmerili dolžino obale v korakih po 200 kilometrov, bomo dobili manjši rezultat, kot, če bi jo merili v korakih po 50 kilometrov. Logika je preprosta, pri večjem merilu izpustimo lastnosti obale, ki so proti izbranemu merilu majhne, tako recimo pri koraku 10 kilometrov zanemarimo vse manjše zalivčke in rte. Da prikažemo netrivialnost te trditve, se vrnimo nazaj k meritvam, ki so enkrat tekle po korakih 200 km, drugič po 50 km. V prvem primeru dobimo rezultat za dolžino obale 2400 kilometrov, medtem ko pri le štirikrat manjšem merilu ta vrednost zraste za dodatnih tisoč kilometrov, torej na 3400. Problem ni bil prvotno predlagan z Mandelbrotove strani, nanj je nekaj let predhodno opozoril angleški znanstvenik Lewis Fry Richardson, ki je z empiričnimi opazovanji odkril povezavo med dolžino obale L in povečavo oziroma merilom G:

 L(G) = MG^{1-D}

Iz izraza je očitno, da dolžina ne limitira, ko gre povečava prek vseh meja. Zaradi tega je Mandelbrot sklepal, da imajo obale samopodobne lastnosti, ter da potenca D podaja njihovo Hausdorffovo dimenzijo. To je splošnejša oblika dimenzije, ki velja tudi za fraktalne objekte, kot bomo videli v nadaljevanju. Richardson na potenco ni obrnil veliko pozornosti. Mislil je, da je število odvisno od vsake obale posebej, ter da se razlikuje tudi za eno obalo pri različnih povečavah.

Read the rest of this entry »

, ,

2 Comments

Kompilacija: Matjaž Željko

Čas hitro mine in kot bi mignil je spet potrebno narediti kakšno stvar za faks. Vsi vemo, da se je težko spet spraviti za knjige, računalnik, skopirane zapiske … saj poletno sonce še kako preveč prijetno sije tam na drugi strani okna. Da pa bo prehod lažji, je tu par stripov z vaj iz matematike (oz. analize, za vse tiste nebolonjce), ki vas bodo, upam da, čim nežneje vpeljali v tisti manj prijeten del študijskega življenja. (če pa ste med tistimi srečneži, ki imajo prosto do oktobra, naj vas stripi spomnijo na faks, da ne boste pozabili, kaj smo tam sploh počeli :))

podpiši peticijo, ki podpira idejo o vpeljavi vektorskega deljenja
Raje si ne predstavljaj situacije, ko imaš pet ortonormiranih vektorjev in bi jih rad vektorsko delil …

recesija, thou art a heartless b**ch
Naj se glede teh borznih minusov obrnemo na finančne matematike?

ja, imamo en kot, ne, pa eno stranico, ne, pa včrtan je nekemu kro... ajaaaa ...
Po novem imamo tudi brez-parametrični krog in devet-parametrični kvadrat, vendar za zadnje nisem popolnoma prepričana …

težko je pešca ščistiti s cestišča, ko se sprehaja z diagonalizabilno matriko
Ali si lahko tudi ti izmisliš tak matematični tongue twister?

Cauchyeve specialitete na žalost nismo mogli pripraviti, saj nam je odkonvergirala neznano kam
Na sporedu je drugi del kuhinjskih mojstrovin, tema današnje oddaje – algebra!

, , ,

1 Comment

Miselni eksperimenti za vsak žep

Znanost temelji na eksperimentih – z njimi potrdimo ali ovržemo teorije, testiramo nove ideje … Vendar pa ni potrebno vseh eksperimentov dejansko izvesti. Takemu, ki ga ni mogoče ali pa ni potrebe, da bi ga v resnici izvedli, lahko rečemo miselni preskus / eksperiment (skovanka, ki je maslo Nemcev, po njihovo Gedankenversuch oz. Gedankenexperiment). Glavna prednost je, da zanj ne potrebujemo kalkulatorja, Bronštajna ali kakšne Mathematice, celo papir je ponavadi odveč. Pa si jih oglejmo par.

Šprinterske želve, mirujoče puščice in nezmožnost gibanja

Gotovo ni bralca tega članka, ki še ni slišal za tekmovanje med Ahilom in želvo, za ta znani paradoks, ki kljubuje zdravi pameti, pa vendar … Glavni krivec je domnevno Zenon iz Eleja, grški filozof in zaprisežen zagovornik ideje, da je gibanje le iluzija. Idejo je opisal z vsaj osmimi paradoksi, od katerih so trije opisani v nadaljevanju.

Prvi (‘Achilles and the tortoise’) pravi, da počasnejšega tekača hitrejši nikoli ne bo mogel prehiteti, saj se bo počasnejši vedno premaknil za nekaj malega naprej, ko bo hitrejši dosegel njegovo prejšnje mesto. V mislih bi se nam celotna stvar mogoče še zdela smiselna, vendar ko se spomnimo na katerokoli atletsko tekmovanje, to kaj hitro propade. (Možna rešitev iz zagate paradoksa, bi bila, če bi lahko Ahil želvo, ko bi se ji dovolj približal, enostavno pograbil in prestavil kakšen meter za sabo, vendar bi to uničilo čar paradoksa, matematike pa razjezilo, kako smo lahko pomislili na tako trivialno rešitev.)

Drugi (‘Dichotomy paradox’) zanika zmožnost premikanja, saj moramo, da bi nekam prišli, najprej opraviti polovico poti, pred tem četrtino, pred tem osmino in tako v neskončnost. Da bi se premaknili za čisto majhen kos poti, bi tako morali opraviti neskončno korakov. Skratka, predstavljajte si tekača, ki po poku štartne pištole kot kip stoji za štartno črto, se zmedeno praska po glavi in razmišlja, kako naj sploh začne.

Za zadnjega (‘Arrow paradox’) si moramo zamisliti puščico v letu. Let je očitno zvezen, vendar pa če puščico pogledamo v vsakem trenutku, bo za vsak tak trenutek zasedala neko mesto in na njem mirovala. V nobenem trenutku se ne bo premikala, torej se sploh ne bo mogla premakniti.
Vsem trem argumentom pravimo paradoksi, saj očitno nasprotujejo našimi izkušnjami – v mislih ima vse skupaj še nekakšen smisel, kruta realnost pa jih kljub ‘utemeljeni logiki’ povozi na celi črti.

... in zato, gospa profesor, sem zamudil k pouku

Read the rest of this entry »

, , ,

2 Comments

Dovolj imamo pi-ja!

Pi je zagotovo najbolj znana matematična konstanta in lahko bi rekli tudi edina poznana širši javnosti, zato ni čudno, da so se privrženci popularizacije matematike odločili, da je skrajni čas, da svet seznanijo še z ostalimi, prav tako zanimivimi konstantami. Za začetek so izbrali konstanti e (znano tudi kot Eulerjevo število oz. Napierova konstanta), osnovo naravnih logaritmov in fi (oz. po angleško phi) (bolj znan kot zlati rez), saj sta v naravoslovju uporabni vsaj toliko kot pi in bi si zato zaslužili večjo prepoznavnost.
Od zdaj naprej bodo po hodnikih družboslovnih fakultet, na javnih straniščih, v vrtcih in drugih krajih, kjer je zaznati očitno pomanjkanje zanimanja za lepoto matematičnih konstant, viseli listi z izpisom decimalk vsakega od teh števil. Predlagalo se je že, da bi uvedli tudi tekmovanje v recitiranju števil fi in e, vsakega na dan, ki predstavlja približek, tj. 16. in 27. januarja. Prednost teh tekmovanj bi bila v tem, da bi tekmovalec, če bi zaradi treme pozabil kakšno števko, to z lahkoto kar na licu mesta izračunal, saj sta formuli za izračun teh konstant dokaj trivialni in sicer:
e\;= 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots
\phi\;=\;\frac{1+\sqrt{5}}{2}
Prav tako se bo organiziralo delavnice na ulicah v središču Ljubljane, kjer bodo mimoidoči lahko sodelovali pri računanju e in fi brez uporabe kalkulatorja (ali Mathematice), se pustili premeriti od glave do pet in tako izvedeli, kateri deli telesa so v razmerju zlatega reza, se naučili uporabljati logaritemsko računalo ali pa pograbili vodni balonček in ciljali na velik pi, ki bo stal sredi glavnega trga, okrašen z napisom ‘nič več najpomembnejša konstanta‘. Celoten niz dogodkov se bo zaključil s pogostitvijo, kjer ne bodo stregli pit, pistacij in piškotov, kot je bila navada pri pi-ju, temveč torte v obliki popolnega pravokotnika z napisi This cake totally pwns pi.

Našli pa so se tudi zagovorniki ideje, da je potrebno pi približati širšim množicam z uvedbo približka pi = 3. S tem so se zgledovali po zgodovinskih dejstvih, da so že Rimljani gradili s to aproksimacijo, stvari so pa vseeno stale pokonci. “Napaka, ki se pojavi pri taki uporabi, je manjša od 5% in za slehernika povsem sprejemljiva, saj še za polet na Luno ne potrebujemo pi na več kot 10 decimalk natančno,” je dejal predstavnik Društva za devolucijo pi-ja.

Vendar pa novi izračuni kažejo, da je doba pi-ja kot transcendentne konstante enkrat za vselej mimo, saj so zaradi napak zaokroževanja spregledali dejstvo, da se za 762. mestom začnejo periodično ponavljati števke 9. Tako bo pi končno odstopil svoje mesto drugim, manj predvidljivim konstantam in se v miru ‘upokojil’.
... in potem je bil pi racionalen.
Ana

,

9 Comments