Archive for category enačbe

Število pi – nekaj zanimivosti

Spet se bliža čas, ko pred hrupno množico stopijo mladi zanesenjaki in zdrdrajo čim več števk določenega števila. Ja, do 3.14. (kot pravijo Američani) je še čisto malo. Ne pozabite na vsakoletno recitiranje!

Foxtrot

Kako si ga zapomniti?

Ljudje prisegajo na različne metode – števke se učijo v sklopih, predstavljajo si jih napisane na listu, zraven prepevajo … vendar zagotovo najbolj zanimiv način (čeprav ne pretirano uporaben za več kot kakšnih dvajset števk) je mnemotehnika v obliki pesmic, kjer število črk v besedi pomeni vrednost števke – metoda ima celo svoje ime – piphilology. Seveda se bo enkrat pojavila ničla in pokvarila sistem, vendar so si zanesenjaki s kanček preveč časa izmislili drugačne dogovore, ki vsebujejo tudi ničlo.

Za pesniške duše so si ljudje izmislili pesmice na temo π:

Que j’aime a faire apprendre                                    Kako bi se rad naučil
Un nombre utile aux sages!                                     število uporabno za modrece.
Glorieux Archimède, artiste ingenieux,                   Veličastni Arhimed, genialni umetnik.
Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite!             Ti, iz Sirakuz, ki si še vedno zaslužiš hvale.

Sir, I bear a rhyme excelling
In mystic force, and magic spelling
Celestial sprites/spirits elucidate
All my own striving can’t relate.

Rahlo bolj razumljive so zgodbice, nekatere brez prave veze s številom, druge take, ki okoli njega stkejo pravo malo prigodo.

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. One is, yes, adequate even enough to induce some fun and pleasure for an instant, miserably brief. (še krajši in daljši)

V Matematičnem blefsikonu se najde tudi slovenska verzija, ki bi si zaslužila, da si jo zapomni vsak študent FMF.

Kar v bife k Majdi odjadramo po težkih vajah – pir omili glavobol, posledico groznih predavanj. (Knjiga pravi, da rahlo spremenjena verzija za profesorje zamenja pir s sokom, težko postane lahko in predavanja študenti, trdi pa tudi da boste tako ali drugačno različico našli na zidovih najbližje matematične fakultete.)

Malce bolj ambiciozna zgodba uporablja ločila namesto ničle (razen pike), besede daljše od 9 črk predstavljajo dve zaporedni števki in vsaka števka predstavlja samo sebe. Torej:

For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. Inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value: pi. Decimals expected soon. I nervously entered a format procedure. The mainframe processed the request. Error. I, again entering it, carefully retyped. This iteration gave zero error printouts in all – success.

Največ pohval glede te metode si zagotovo zasluži Mike Keith, ki je leta 1996 izdal kratko zgodbo Cadaeic Cadenza s 3835 besedami, ki upoštevajo načela piphilologije ter knjigo Not a Wake, ki združuje pesmi, kratke zgodbe, dramska dela … v 10 000 števkah π.

Kogar zanimajo še druge verzije, naj si pogleda wiki članek o tej temi.

xkcd

Kako ga izračunati?

Za prvo silo zadostuje 3.14 ali pa 22/7, vendar kako π dejansko izračunamo? Eno izmed prvih formul je na svet spravil François Viète, nanaša pa se na poligone z 2n stranicami:

\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} \times\dots

John Wallis je odkril formulo, ki si je ni težko zapomniti:

\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\frac{8}{7}\times\frac{8}{9}\times\dots

Še eno vrsto, ki si jo enostavno zapomniš, sta hkrati odkrila James Gregory in Gottfried Leibniz, vendar ta konvergira ekstremno počasi.

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\cdots

Pi pi pi pi pi piiiii - Brown sharpie

Zagotovo se boste kakšne od teh formul spomnili iz poglavja Fourierovih vrst.

 \frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\dots= \displaysytle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}
\frac{\pi^3}{32}=1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}-\frac{1}{11^3}+\dots= \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}}
\frac{\pi^4}{90}=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{6^4}+\cdots= \displaysytle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^4}}

Okoli leta 1985 sta Johnatan in Peter Borwein odkrila vrsto, ki je konvergirala izjemno hitro. Kako sta do nje prišla, si ne upam niti pomisliti, saj izgleda tako:

\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9,801} \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(4n)!}{(n)!^4}}\times\frac{1,103+26,390n}{(4\times 99)^{4n}}

Dvanajst let kasneje pa so drugi brat Borwein, David Bailey in Simon Plouffe objavili formulo, ki nam pomaga izračunati točno določeno števko π, ne da bi pri tem morali izračunati vse prejšnje. Res je, da s to formulo dobimo števke v šestnajstiškem sistemu, vendar pretvorba v desetiškega spet ni tako grozljivo težka, da se je ne bi splačalo narediti. Kaj več o BBP algoritmu si preberite na wiki strani, formula pa je takšna:

\pi= \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n}

Če želite izvedeti še kaj več o premnogih numeričnih aproksimacijah števila π, si oglejte še en wiki članek in se prepričajte, da π nastopa res povsod.

Vir: Ian Stewart: Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Robert Ainsley: Matematični blefsikon

Kako ga proslaviti?

Če še ne veste, kako bi proslavili 14. marec, namenite pogled tej strani, ki je polna idej, kaj početi na tak okrogel dan.

Ana

,

No Comments

Kako je fizik izumil Wall Street

Ne, naslov ni pretenciozen in samo_fiziko_všečen. Brez tako imenovane “Feynman-Kac formule” Wall Street dobesedno ne bi obstajal. Formula namreč povezuje svet stohastičnih procesov in parcialnih diferencialnih enačb.

Wall Street

Wall Street

Recimo, da imamo takšno PDE

\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = V(x,t) f
definirano za vse realne x in t na intervalu [0,T], s končnim pogojem \f(x,T)=\psi(x) pri čemer so \mu,\ \sigma,\ \psi, V znane funkcije, T je parameter in f neznana funkcija.

Formula Feynmana in Kac-a nam pove, da rešitev lahko zapišemo kot matematično upanje:

\ f(x,t) = E[ e^{- \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) | X_t=x ]

kjer je X Itōv process, ki ga lahko zapišemo kot

dX = \mu(X,t)\,dt + \sigma(X,t)\,dW,

kjer je W(t) Wienerjev proces (Brownovo gibanje), začetni pogoj za X(t) pa je X(0) = x.

Kaj je na tej formuli tako bistvenega za bliskovit razvoj in razcvet trga izvedenih finančnih instrumentov? Dejstvo, da lahko rešitev parabolične PDE zapišemo kot pričakovano vrednost Itovega procesa nam omogoča, da pričakovane vrednosti takšnih stohastičnih procesov računamo z numeričnimi metodami za reševanje PDE.

Procese, kot je zgornji, se v finančni matematiki uporablja za modeliranje cen izvedenih finančnih instrumentov ali t.i. derivativov. Za trgovanje s takimi vrednostnimi papirji je ključnega pomena, da se ceno računa tako rekoč v ‘realnem’ času, to pa z uporabo metod, kot je Monte Carlo ali kvazi Monte Carlo ne bi bilo mogoče, saj so enostavno prepočasne.

Itov integral Brownovega gibanja

Itov integral Brownovega gibanja

Klasične deterministične metode za reševanje difuzijske enačbe pa so dovolj hitre, da z njimi lahko računamo cene nešteto derivativov takorekoč v realnem času.

Formula Feynmana in Kac-a je bila tako leta 1950 ključnega pomena za začetek razvoja finačnih trgov, kot jih poznamo danes.

Beri še:
Itō’s lemma
Weiner process
Itō calculus
Kolmogorov equations

Benjamin

, ,

2 Comments

Levi-Civita

225px-Levi-Civita_1930Italijanski matematik Tullio Levi-Civita je bil rojen leta 1873 v Padovi in tako kot večina slavnih znanstvenikov 20. stoletja je bil tudi on židovskega rodu. Diplomiral je leta 1894 na matematični fakulteti univerze v Padovi.

Poklicno se je ukvarjal predvsem s tenzorsko analizo in leta 1900 objavil delo “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications”, iz katerega je znanje črpal Albert Einstein pri matematični formulaciji svoje splošne teorije relativnosti. S kolegom Albertom sta sodelovala tudi kasneje pri razvoju teorije gravitacije, s svojim delom pa je prispeval tudi k Diracovim enačbam v kvantni mehaniki.

Fizikom je Levi-Civita znan predvsem po svojem simbolu ε. Dejansko je to tenzor tretjega ranga, v katerem nastopajo na prebrisan način razporejene vrednosti -1, 0 in 1. Poleg tega, da je tenzor izjemno uporaben, skriva še eno zanimivo lastnost. Če ga narišemo v trodimezionalni reprezentaciji in s črtami v dva trikotnika povežemo vrednosti 1 ter -1, opazimo zanimiv vzorec, ki silno spominja na Davidovo zvezdo, znan judovski simbol. Ni jasno, ali se je zvezda tam znašla namenoma ali po naključju, vsekakor pa nič ne pokvari uporabe Levi-Civitejevega tenzorja, marveč jo naredi celo bolj privlačno in vznemirljivo.

levi2

Ambrož

No Comments