Plišaste porazdelitve in delci


Ko je govora o plišastih igračah, se vedno spomnimo na mehke medvedke, zajčke in mucke, vendar česa bolj geeky ponavadi ne najdemo. To je bilo nekoč. Zdaj lahko svojo matematično (oz. bolj natančno, statistično) žilico potešite z eno od plišastih statističnih porazdelitev:

porazdelitve

Razdeljene so v peterico prijaznih in peterico zlobnih, ki študentom ponavadi rade ponagajajo na izpitih. A kaj predstavljajo te anatomsko pravilne porazdelitve?

Normalna (Gaussova) porazdelitev – široko uporabljana zvezna porazdelitev, ki opisuje realne naključne spremenljivke, porazdeljene okoli povprečne vrednosti. Uporablja se jo res, ampak res povsod. Zanimivo je, da pri konvoluciji večine funkcij z zaporednimi operacijami dobivamo Gaussovo obliko.

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}

porazdelitev χ2 (hi kvadrat) – sestavlja družino zveznih verjetnostnih porazdelitev vsot kvadratov k neodvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk. Najpogosteje se uporablja pri testiranju hipotez, konstrukciji intervala zaupanja in preverjanju kvaliteta fita.

f(x,k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-k/2}

Studentova (T) porazdelitev – še ena zvezna porazdelitev, ki pa ocenjuje povprečje normalno (po Gaussu) porazdeljenega vzorca, kjer je vzorec majhen in standardna deviacija neznana. Uporablja se pri statističnih analizah, za konstrukcijo intervala zaupanja za razliko povprečij dveh vzorcev  in v teoriji linearne regresije. Ime je nastalo, ko je Gosset, ki je delal v pivovarni Guinnessa, objavil članek o tej temi pod psevdonimom ‘Študent’.

T = Z\sqrt{\frac{k}{V}}, kjer je Z porazdeljen normalno in neodvisen od V, ki ima porazdelitev χ2 s k prostostnimi stopnjami.

Logaritemsko normalna porazdelitev – porazdelitev naključne spremenljivke, katere logaritem je normalno porazdeljen (znana tudi kot Galtonova porazdelitev).

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-(\ln{x}-\mu)^2/2\sigma^2}

Zvezna enakomerna porazdelitev – zagotovo najlažja za razumeti, porazdelitev predstavlja enakomerno verjetnost vseh vrednosti, pri katerih je neničelna. Določata jo zgornja in spodnja meja, višina je obratna vrednost razlike mej.

Weibullova porazdelitev – zvezna porazdelitev, ki se nenehno uporablja pri analizi preživetja in analizi zanesljivosti (oz. odpovedi) tehničnih naprav, najprej pa so jo uporabljali za opis porazdelitve velikosti delcev. S parametrom k povemo, kako odpoveduje naš sistem, če je k<0 se pogostost odpovedi zmanjšuje, saj defektni deli odpovejo, če pa je k>0 se pogostost povečuje, kar bi lahko pomenilo nekakšno staranje sistema.

f(x) = \frac{k}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k/\;\;\;\;x\geq0

Poissonova porazdelitev – je diskretna porazdelitev, ki izraža verjetnost, da se zgodi določeno število dogodkov v danem časovnem (prostorskem) intervalu, če se dogodki pojavljajo z znano povprečno pogostostjo in neodvisno od časa prejšnjega dogodka. Tej porazdelitvi se reče tudi zakon malih števil, saj opisuje dogodke, ki se redko zgodijo, a imajo mnogo priložnosti, da se to zgodi. S k v porazdelitvi opišemo pojavljane dogodkov, z λ pa pričakovano število pojavljanj dogodkov.

f(k;\lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

Erlangova porazdelitev – zvezna porazdelitev z veliko uporabnostjo zaradi sorodnosti s potenčno in gama porazdelitvijo. Razvil jo je gospod Erlang, ki je raziskoval, koliko istočasnih klicev bi lahko opravili z določenim številom telefonskih central. Za dogodke, ki se dogajajo po Poissonu lahko rečemo, da so časi med njimi razdeljeni po Erlangu. Porazdelitev se uporablja pri stohastičnih procesih, modeliranju prometa  in biomatematiki (primer širjenja bolezni).

f(x;k,\lambda) = \frac{\lambda^k x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}

Gumbelova porazdelitev – porazdelitev, ki se uporablja pri modeliranju porazdelitve maksimumov (ali minimumov) nekaj vzorcev drugih porazdelitev. Z njo recimo lahko predstavimo porazdelitev največjih vodostajev reke za neko leto, če poznamo njihove velikosti za nekaj let prej. Uporabna je za napoved verjetnosti, da se bodo zgodile ekstremnih stvari kot so močni potresi, poplave in druge naravne nesreče.

f(x;\mu,\beta) = \frac{1}{\beta}e^{-z-e^{-z}},\;\;\; z = \frac{x-\mu}{\beta}

Cauchyeva porazdelitev – znana tudi pod imenom Lorentzova in Breit-Wignerjeva porazdelitev (imeni, ki ju pogosteje uporabljajo fiziki). V fiziki jo najpogosteje srečamo pri opisu vsiljene resonance (resonančna krivulja), v spektroskopiji pa opisuje obliko spektralnih črt. Zanimivo je, da pri konvoluciji same s seboj ne postaja podobna Gaussovi, ampak ostaja podobna sama sebi.

f(x;x_0,\gamma) = (\pi \gamma \left[ 1+(\frac{x-x_0}{\gamma})^2\right])^{-1}

Seveda niso pozabili tudi fizikov. Kogar zanimajo osnovni delci (tisti, ki v resnici obstajajo ali pa za zdaj samo v teoriji), mikrovalovno sevanje ozadja ali pa razvoj vesolja skozi čas, lahko med pliškoti iz Particle Zoo najdete nekaj zase. Zanimivo je, da je ustvarjalka upoštevala maso delcev in tako naredila težje težke kot svinec in lažje lahke kot pero. Lahko pa si sestavite svoj lastni Feynmanov diagram iz priročnih magnetkov.

živalski vrt delcev

, ,

  1. No comments yet.
(will not be published)