Archive for March, 2011

Število pi – nekaj zanimivosti

Spet se bliža čas, ko pred hrupno množico stopijo mladi zanesenjaki in zdrdrajo čim več števk določenega števila. Ja, do 3.14. (kot pravijo Američani) je še čisto malo. Ne pozabite na vsakoletno recitiranje!

Foxtrot

Kako si ga zapomniti?

Ljudje prisegajo na različne metode – števke se učijo v sklopih, predstavljajo si jih napisane na listu, zraven prepevajo … vendar zagotovo najbolj zanimiv način (čeprav ne pretirano uporaben za več kot kakšnih dvajset števk) je mnemotehnika v obliki pesmic, kjer število črk v besedi pomeni vrednost števke – metoda ima celo svoje ime – piphilology. Seveda se bo enkrat pojavila ničla in pokvarila sistem, vendar so si zanesenjaki s kanček preveč časa izmislili drugačne dogovore, ki vsebujejo tudi ničlo.

Za pesniške duše so si ljudje izmislili pesmice na temo π:

Que j’aime a faire apprendre                                    Kako bi se rad naučil
Un nombre utile aux sages!                                     število uporabno za modrece.
Glorieux Archimède, artiste ingenieux,                   Veličastni Arhimed, genialni umetnik.
Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite!             Ti, iz Sirakuz, ki si še vedno zaslužiš hvale.

Sir, I bear a rhyme excelling
In mystic force, and magic spelling
Celestial sprites/spirits elucidate
All my own striving can’t relate.

Rahlo bolj razumljive so zgodbice, nekatere brez prave veze s številom, druge take, ki okoli njega stkejo pravo malo prigodo.

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. One is, yes, adequate even enough to induce some fun and pleasure for an instant, miserably brief. (še krajši in daljši)

V Matematičnem blefsikonu se najde tudi slovenska verzija, ki bi si zaslužila, da si jo zapomni vsak študent FMF.

Kar v bife k Majdi odjadramo po težkih vajah – pir omili glavobol, posledico groznih predavanj. (Knjiga pravi, da rahlo spremenjena verzija za profesorje zamenja pir s sokom, težko postane lahko in predavanja študenti, trdi pa tudi da boste tako ali drugačno različico našli na zidovih najbližje matematične fakultete.)

Malce bolj ambiciozna zgodba uporablja ločila namesto ničle (razen pike), besede daljše od 9 črk predstavljajo dve zaporedni števki in vsaka števka predstavlja samo sebe. Torej:

For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. Inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value: pi. Decimals expected soon. I nervously entered a format procedure. The mainframe processed the request. Error. I, again entering it, carefully retyped. This iteration gave zero error printouts in all – success.

Največ pohval glede te metode si zagotovo zasluži Mike Keith, ki je leta 1996 izdal kratko zgodbo Cadaeic Cadenza s 3835 besedami, ki upoštevajo načela piphilologije ter knjigo Not a Wake, ki združuje pesmi, kratke zgodbe, dramska dela … v 10 000 števkah π.

Kogar zanimajo še druge verzije, naj si pogleda wiki članek o tej temi.

xkcd

Kako ga izračunati?

Za prvo silo zadostuje 3.14 ali pa 22/7, vendar kako π dejansko izračunamo? Eno izmed prvih formul je na svet spravil François Viète, nanaša pa se na poligone z 2n stranicami:

\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} \times\dots

John Wallis je odkril formulo, ki si je ni težko zapomniti:

\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\frac{8}{7}\times\frac{8}{9}\times\dots

Še eno vrsto, ki si jo enostavno zapomniš, sta hkrati odkrila James Gregory in Gottfried Leibniz, vendar ta konvergira ekstremno počasi.

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\cdots

Pi pi pi pi pi piiiii - Brown sharpie

Zagotovo se boste kakšne od teh formul spomnili iz poglavja Fourierovih vrst.

 \frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\dots= \displaysytle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}
\frac{\pi^3}{32}=1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}-\frac{1}{11^3}+\dots= \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}}
\frac{\pi^4}{90}=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{6^4}+\cdots= \displaysytle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^4}}

Okoli leta 1985 sta Johnatan in Peter Borwein odkrila vrsto, ki je konvergirala izjemno hitro. Kako sta do nje prišla, si ne upam niti pomisliti, saj izgleda tako:

\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9,801} \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(4n)!}{(n)!^4}}\times\frac{1,103+26,390n}{(4\times 99)^{4n}}

Dvanajst let kasneje pa so drugi brat Borwein, David Bailey in Simon Plouffe objavili formulo, ki nam pomaga izračunati točno določeno števko π, ne da bi pri tem morali izračunati vse prejšnje. Res je, da s to formulo dobimo števke v šestnajstiškem sistemu, vendar pretvorba v desetiškega spet ni tako grozljivo težka, da se je ne bi splačalo narediti. Kaj več o BBP algoritmu si preberite na wiki strani, formula pa je takšna:

\pi= \displaysytle\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n}

Če želite izvedeti še kaj več o premnogih numeričnih aproksimacijah števila π, si oglejte še en wiki članek in se prepričajte, da π nastopa res povsod.

Vir: Ian Stewart: Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Robert Ainsley: Matematični blefsikon

Kako ga proslaviti?

Če še ne veste, kako bi proslavili 14. marec, namenite pogled tej strani, ki je polna idej, kaj početi na tak okrogel dan.

Ana

,

No Comments