Archive for January, 2011

Kako je fizik izumil Wall Street

Ne, naslov ni pretenciozen in samo_fiziko_všečen. Brez tako imenovane “Feynman-Kac formule” Wall Street dobesedno ne bi obstajal. Formula namreč povezuje svet stohastičnih procesov in parcialnih diferencialnih enačb.

Wall Street

Wall Street

Recimo, da imamo takšno PDE

\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = V(x,t) f
definirano za vse realne x in t na intervalu [0,T], s končnim pogojem \f(x,T)=\psi(x) pri čemer so \mu,\ \sigma,\ \psi, V znane funkcije, T je parameter in f neznana funkcija.

Formula Feynmana in Kac-a nam pove, da rešitev lahko zapišemo kot matematično upanje:

\ f(x,t) = E[ e^{- \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) | X_t=x ]

kjer je X Itōv process, ki ga lahko zapišemo kot

dX = \mu(X,t)\,dt + \sigma(X,t)\,dW,

kjer je W(t) Wienerjev proces (Brownovo gibanje), začetni pogoj za X(t) pa je X(0) = x.

Kaj je na tej formuli tako bistvenega za bliskovit razvoj in razcvet trga izvedenih finančnih instrumentov? Dejstvo, da lahko rešitev parabolične PDE zapišemo kot pričakovano vrednost Itovega procesa nam omogoča, da pričakovane vrednosti takšnih stohastičnih procesov računamo z numeričnimi metodami za reševanje PDE.

Procese, kot je zgornji, se v finančni matematiki uporablja za modeliranje cen izvedenih finančnih instrumentov ali t.i. derivativov. Za trgovanje s takimi vrednostnimi papirji je ključnega pomena, da se ceno računa tako rekoč v ‘realnem’ času, to pa z uporabo metod, kot je Monte Carlo ali kvazi Monte Carlo ne bi bilo mogoče, saj so enostavno prepočasne.

Itov integral Brownovega gibanja

Itov integral Brownovega gibanja

Klasične deterministične metode za reševanje difuzijske enačbe pa so dovolj hitre, da z njimi lahko računamo cene nešteto derivativov takorekoč v realnem času.

Formula Feynmana in Kac-a je bila tako leta 1950 ključnega pomena za začetek razvoja finačnih trgov, kot jih poznamo danes.

Beri še:
Itō’s lemma
Weiner process
Itō calculus
Kolmogorov equations

Benjamin

, ,

2 Comments

Fizik vs. čarovnik

Pri predmetu Posredovanje fizike sta kolega Klemen Kelih in Nejc Davidović pripravila zanimiv film, za katerega upamo, da bi za fiziko navdušil marsikoga.

Janez

2 Comments