Archive for October, 2010

Le kaj sem spet dobil na mail …

Vsak jo ima. Osebo, ki poseduje vaš e-mail naslov in vas občasno zasipa z raznoraznimi power pointi lepih pokrajin, verižnimi pismi, ki krožijo po medmrežju že od samega začetka www ter smešnimi filmčki, pobranimi z Youtube-a. Na vsake toliko časa se najde tak mail, ki ima, verjeli ali ne, mnogo povezave z matematiko in fiziko (čeprav le kot izkoriščanje ali popolno nepoznavanje le-teh).

Izmisli si številko med 1 in 10 …

Zagotovo vam je že kdaj nekdo poslal povezavo do strani, na kateri trdijo, da vam bodo prebrali misli. Izmisliti si morate dvomestno številko, z njo narediti par računskih operacij, potem pa v tabeli izbrati simbol, ki ustreza vašemu odgovoru. V naslednjem koraku vam program ta isti simbol seveda pokaže. Kje je trik? Matematik bi takoj opazil, da so rešitve lahko le večkratniki števila 9, simboli pod temi večkratniki pa so vsi isti. Ker algoritem zahteva, da si izbereš dvomestno število in od njega odšteješ vsoto števk, to pomeni, da narediš 10x+y-(x+y)=9x, kar so seveda večkratniki števila 9.

Podobna taka je ‘okoljevarstvena’ Think of a Number. Pravi, da moraš izbrano število množiti s tri, kvadrirati in tako dolgo seštevati števke, da dobiš enomestno število. Kaj se zgodi naprej v resnici ni važno, saj je rezultat od tu za vsa začetna števila enak. Število po kvadriranju je zopet deljivo z 9, saj je oblike 9x2, vemo pa, da je število deljivo z 9, če ima vsoto števk enako 9, ali pa vsoto vsote števk, in tako dalje. V tem koraku bomo vsi dobili rezultat 9, kar sledi pa je samo še manipulacija z 9, da na prikrit način dobiš željen rezultat.

Očitno je 9 izvrstno število za tako imenovane bralce misli.

Čokolada ve, koliko sem star!

Mail z naslovom Računanje s čokolado izkorišča podoben trik kot prejšnja točka. Kdor pozna nekaj malega algebre, lahko takoj ugotovi, zakaj algoritem v takem sporočilu deluje (in tudi zakaj vsako leto znova in znova opozarjajo, da moraš to neverjetno stvar poskusiti do konca tekočega leta).  Navodila so:

Kolikokrat na teden si zaželiš čokolade (pomembno je, da je več od 2 in manj od 10, kar pravi tudi sporočilo): x
Pomnoži z dva: 2x
Prištej pet in pomnoži s petdeset:  50(2x+5) = 100x + 250
Če si letos že praznoval rojstni dan, prištej 1760, drugače 1 manj (ta številka se z vsakim novim letom spremeni): 100x + 2010 (oz. 100x + 2009)
Odštej letnico rojstva (recimo 1989): 100x + 2010-1989 = 100x + 21
Prva številka je število, ki smo si jo izmislili, drugi dve pa starost! Neverjetno.

Kot vidimo, imamo zamaskirano množenje s 100, ki poskrbi, da je izbrana številka na prvem mestu ter malce preveč očitno seštevanje, da dobimo tekoče leto. Ah, ja, ko bi bila vsa matematika tako sladka …

čokolada ...

Letošnji oktober je nekaj posebnega … pa kaj še

Pred kratkim je začel krožiti mail, ki trdi, da je letošnji oktober s svojimi petimi petki, sobotami in nedeljami nekaj posebnega, kar se zgodi na vsakih 823 let in, tako pravijo Kitajci, pomeni veliko denarja. V vraževerja ne verjamem, se mi je pa takoj zazdel sumljiv podatek o periodičnosti tega pojava. Kdor pozna problem, koliko različnih koledarjev dejansko potrebujemo za prikaz vseh možnih let, ve, da jih je 14 (1. januar pride na vsak dan v tednu + isto za prestopna leta) in da se vsi zvrstijo v 28 letih (trikrat navadni in enkrat po vsak s prestopnim letom). Ker naj bi bil ta oktober poseben, saj se začne na petek, bi bilo potrebno poiskati le taka leta in videli bi, da je naslednji že leta  2021, prejšnji je bil leta 2004, v 28 letih pa so vsaj štirje taki.

Mars velik kot luna, ki je modra! Ojej!

Že več let zapored sem okoli avgusta dobila mail, da naj tega in tega dne opazujem nočno nebo, saj bo Mars takrat nam najbližje in bo izgledal tako velik kot luna. Vsak človek, ki ima vsaj malo poznavanja astronomije, bi se ob taki izjavi prijel za glavo. Mars bi moral biti približno dvakrat dlje stran kot luna, da bi z Zemlje izgledal kot njen naravni satelit in če bi bil, bi najverjetneje namesto da zremo v nebo in se čudimo redkemu pojavu, trepetali ob misli, kaj zaboga dela drugi planet tako blizu. Sporočilo je mutiralo iz dejstva, da se je Mars 27. 8.2003 na svoji poti najbolj približal Zemlji in bil bolj svetel kot ponavadi, kar pa seveda ni pomenilo take bližine in romantičnih ‘dveh lun na nebu’.
Lani decembra je tudi krožilo sporočilo o modri luni istega meseca, kar pa je bilo rahlo zavajajoče. Luna seveda ni spremenila barve, temveč je najbrž nastal le napačen prevod besedila, v katerem je omenjen termin “blue moon”, fraza za drugi ščip, ki se pojavi v istem mesecu. Ker je ta padel ravno na Silvestrovo (zraven pa je bil še delni lunin mrk), je bilo to prav lepo za videti, čeprav ne pretirano barvito.

Tako blizu pa nikoli ne bodo.

Če ste tudi sami zapazili kakšne podobne maile, matematične trike, ki se pogosto pojavljajo ali pa znanstvene stvari, ki so popolnoma zgrešene, dodajte komentar.

Ana

, , , ,

2 Comments

Mogoče ste vedeli – zanimivosti iz matematike/fizike

Profesor Ian Stewart je že od malih nog rad zbiral nevsakdanje matematične zanimivosti, ocvirke iz sveta abstraktnega in jih zbiral v svoji beležnici, ki je na koncu prerasla v celo zbirko bolj ali manj nenavadnih nalog, dejstev in teorij. Ker ima lahko še tako banalno zveneč problem zanimivo in netrivialno rešitev, sem se odločila, da predstavim par takih, nekaterih znanih iz šolskih klopi, drugih obskurnih, da še internet ne nudi zadovoljivih informacij o končnem spoznanju.

Kako izgleda najkrajša pot (omrežje), ki povezuje dane točke?

Problem, imenovan tudi Steiner Network (oz. Tree) Problem, ni samo neka matematična zanimivost, saj se s tem problemom srečajo vsi, ki morajo nekaj povezati, a bi radi prihranili na gradnji cest, povezav ali česa drugega. Za začetek lahko poskusite rešiti problem, kako tako povezati štiri točke v ogliščih kvadrata. Prva stvar, ki jo ugotovimo, je, da nikjer ne smemo dobiti zaključene povezave. Zakaj? Zagotovo lahko odstranimo najdaljši odsek, pa bodo še vedno vse točke povezane, oziroma povedano drugače, ni potrebno, da je vsaka točka povezana z vsako (kar bi bilo najbolj neumno narediti), pomembno je le, da obstaja pot od ene do druge točke, lahko tudi preko drugih točk. Pri kvadratu bi tako v naslednjem koraku poskusili s povezavo prek diagonal in se najbrž zadovoljili z rešitvijo, vendar to še ni najkrajša pot. Dokazano je bilo, da najkrajšo pot dobimo, če se poti sekajo pod kotom 120o.

Za majhno število točk je še dokaj enostavno poiskati minimalno povezavo, vendar problem kaj hitro preraste v nemogočega, saj pri številu točk, večjem od 30, niti najboljši računalniki ne morejo priti do konca problema. A kot se dostikrat pripeti, narava zna najti tako pot. Če bi v točke postavili paličice, nanje dali ploščo in čez vso konfiguracijo pihali milne mehurčke, bi opna mehurčkov, ki so se ujeli, zavzela obliko z najmanj energije, najmanjšo površino in posledično tudi potjo. Če bi tak eksperiment dejansko izvedli z velikim številom točk, ni nujno, da bi dobili najkrajšo pot (nekaj je vseeno naključnega pri takem poskusu, lahko se izoblikujejo povezave, ki niso najkrajše gledano globalno, temveč le lokalno), vendar lahko vseeno rečemo, da najkrajša povezava ustreza minimalni energiji milnih mehurčkov med točkami.

Kdor rad bere članke, naj si prebere še The Shortest-Network Problem.

Le kolikokrat se zgodi, da vrtičkarji premagajo izobražene ljudi? Večkrat kot bi si mislili.

Ali lahko v kocko izvrtamo takšno luknjo, da bo šla skoznjo enako velika kocka?

Verjeli ali ne, to lahko naredimo. Skozi samo dve stranici (sprednja in zadnja naprimer) to očitno ne bo šlo, vendar ne smemo pozabiti, da luknjo lahko izvrtamo v poljuben del kocke. Če kocko obrnemo tako, da proti nam gleda eno oglišče (vidimo tri stranice), lahko opazimo obris šestkotnika. Vanj lahko včrtamo kvadrat, ki ima stranico rahlo večjo od stranice kocke (približno 1.06-krat večjo oziroma natančno (3√2/4)-krat), zato lahko izvrtamo tako luknjo. Tako izdolbeni kocki se reče kocka princa Ruperta in če si težko predstavljate, kako bi izgledala, poglejte ta link, če pa bi radi sami naredili kakšno, poglejte sem.

Kako veliko kvadratno škatlo bi potreboval mlekar, da vanjo spravi n2 steklenic mleka oz. kako naj jih pakira?

V kvadratno škatlo steklenice mleka ponavadi zapakiramo tako, da ima vsaka le štiri sosede (pakiramo v kvadrate) in tako dobimo pakiranje, ki je kompaktno (nobena steklenica se ne more premikati, tudi razbiti ne). Mislili bi si, da je kvadratno pakiranje za kvadrate naravnih števil najbolj učinkovito in da z njim dobimo najmanjšo škatlo. Ko bolje premislimo, vidimo, da naletimo na problem. Vemo, da to ni najgostejše pakiranje (če pakiramo tako, da ima vsak krog še šest sosedov, dobimo najgostejše pakiranje, heksagonalno) in tako najverjetneje za zelo velika števila bolj ustreza pakiranje v šestkotnike kljub temu, da ne tvorijo kvadratne oblike. Za majhna števila pa zaradi ‘mejnih efektov’ blizu roba prevladuje mlekarjeva pogruntavščina. Rešitev je presenetljiva – za kvadrate do 62 ima mlekar prav, za naslednji kvadrat pa to že ne drži več. Dosti stvari se da ovreči/dokazati, če najdemo protiprimer in tako je tudi tu. Na sliki levo je pokazano pakiranje 49ih krogov, ki je rahlo bolj ekonomično od desnega. Postavitev izgleda zelo naključna, vendar vidimo par predelov, kjer so krogi spakirani v najgostejši sklad.

Levi kvadrat je malce manjši od desnega

Read the rest of this entry »

, , , , , , , , ,

4 Comments