Casimirjeva sila


“Energija vakuuma je najlepša stvar, ki se mi je zgodila v življenju.”

– Ambrož Kregar

 ena lepa slikca za začetek

Casimirjeva sila je zanimiv fizikalni pojav, ki je posledica kvantih fluktuacij elektromagnetnega polja v vakuumu, na kratko imenovanih energija vakuuma ali energija ničelne točke (zero-point energy), kadar so le-te omejene na končno območje z določenimi robnimi pogoji.

V tej seminarski nalogi bom na kratko predstavil osnove kvantne teorije polja, ki so potrebne za konceptualno razumevanje izvora Casimirjeve sile. Razložil bom izračune in postopke, ki jih je uporabil nizozemski fizik Casimir (več o njem kasneje) za izračun sile med prevodnima ploščama, ter preletel rezultate izračunov za silo med dielektriki.

Ogledali si bomo tudi zgodovino in postopke merjenja Casimirjeve sile. Eksperimentalna potrditev tega pojava še zdaleč ni trivialna, saj je sila opazna šele na zelo majhnih razdaljah, njena velikost pa je tudi tedaj relativno majhna. Poleg tega je treba pri interpretaciji podatkov paziti na razne moteče elemente pri meritvi, ki nikakor niso zanemarljivi. Zanimiva in omembe vredna so tudi nekatera druga področja, na katerih se fiziki trudijo razložiti še nepojasnjene fenomene s pomočjo energije vakuuma.

Opisal bom tudi nekaj tehničnih področij, kjer v prihodnjih letih pričakujemo praktično uporabo Casimirjeve sile, par besed pa bom napisal tudi o bolj eksotičnih teorijah energije vakuuma.

Zgodovina raziskav Casimirjeve sile

Najenostavnejša enačba, ki opisuje termodinamiko plina, je idealna plinska enačba, v kateri so upoštevani le kinetični prispevki k energiji molekul. Eksperimenti so kmalu pokazali, da enačba dobro opiše le zelo razredčene pline, kar je fizika van der Waalsa napeljalo na idejo, da bi v enačbo vključil popravke zaradi končne velikosti molekul plina ter šibke interakcije med njimi. Nova enačba se je bistveno bolje ujemala z eksperimentalnimi rezultati, vendar dolgo ni bilo jasno, od kod izvirajo privlačne interakcije med nevtralnimi molekulami.

Leta 1930 je London v okviru kvantne mehanike pokazal, da so sile posledica kvantnih fluktuacij naboja na molekulah. Opazovane molekule so sicer v povprečju nevtralne, vendar elektroni zaradi principa nedoločenosti lahko povzročijo na molekuli šibak dipolni moment, ki povzroči privlak z drugimi molekulami.

Nizozemska fizika Hendrik Brugt Gerhard Casimir in Dirk Polder sta leta 1947 začela raziskovati, ali bi kvantne fluktuacije imele lahko opazljiv učinek tudi na drugih področjih kvantne fizike. Namesto s fluktuacijami naboja na molekulah sta se začela ukvarjati s fluktuacijami elektromagnetnega polja, ki jih prav tako predvideva kvantna mehanika. Leta 1948 je Casimir prvi izpeljal izraz za silo med dvema vzporednima idealno prevodnima ploščama.

Hedrik Brugt Gerhard Casimir

Hedrik Brugt Gerhard Casimir se je rodil leta 1909 v kraju ‘s-Gravenhage na Nizozemskem. Študiral je teoretično fiziko na univerzi v Leidenu pod vodstvom Paula Ehrenfesta, kjer je leta 1931 doktoriral na področju kvantne mehanike hitro vrtečega telesa in teorije grup za vrtenje molekul. V tem času je preživel nekaj časa v Kopenhagnu z Nielsom Bohrom, kasneje je delal kot asistent pri Wolfgangu Pauliju v Zürichu, leta 1938 pa je postal profesor fizike na univerzi v Leidenu.

1942. se je zaposlil v Philipsovih raziskovalnih laboratorijih v Eindhovenu, vendar je nadaljeval svoje raziskovalno delo na področju prevajanja toplote in elektrike ter leta 1945 napisal znano delo o Onsagerjevem principu mikroskopske reverzibilnosti.Leta 1946 je postal kodirektor Philipsovih laboratorijev, 1956. pa član nadzornega sveta podjetja. Upokojil se je leta 1972.

Kljub temu, da je večino življenja delal v industriji, je Casimir eden največjih nizozemskih teoretičnih fizikov z odkritji na področju Liejevih grup, hiperfine strukture, nizkotemperaturne fizike, termodinamike superprevodnikov, itd. Pomagal je pri ustanovitvi Evropskega fizikalnega združenja in bil v letih 1972 – 1975 njegov predsednik, leta 1979 pa je bil eden glavnih govornikov na 25. obletnici delovanja CERN-a. Kljub vsem tem izjemnim dosežkom je najbrž še najbolj znan prav po Casimirjevi sili.

Po Casimirju se je z raziskavami energije vakuuma ukvarjalo še mnogo teoretičnih fizikov. Velike zasluge na tem področju gredo ruskemu Evgeniju Lifshitzu, ki je postavil prvo teorijo o Casimirjevi sili med dielektriki. Zaradi premalo natančnih instrumentov so eksperimentalne raziskave Casimirjeve sile dolgo zaostajale za teoretičnimi napovedmi. Prve resne meritve so bile tako opravljene šele v 90. letih 20. stoletja, ujemanje rezultatov s teoretičnimi napovedmi pa je tako dobro, da o obstoju opazljivih učinkov energije vakuuma ni mogoče več dvomiti.

Kvantni opis elektromagnetnega polja in energija vakuuma

Če želimo razumeti izvor energije vakuuma in Casimirjeve sile, je nujno potrebno povedati nekaj osnovnih idej kvantne elektrodinamike. Začetki kvantne elektrodinamike segajo v 20. leta prejšnjega stoletja. Glavni motiv za razvoj teorije je bil opis elektromagnetnega valovanja na kvantno mehanski način, s čimer bi bila odprta pot do obravnave interakcij med fotoni in elektroni. Leta 1926 so fiziki Max Born, Pascual Jordan, in Werner Heisenberg zasnovali prvo teorijo, ki je ustrezala opisu elektromagnetnega polja.

Osnovna ideja njihove teorije je, da si elektromagnetno valovanje predstavljamo kot množico linearnih harmoničnih oscilatorjev. Vsakemu osnovnemu nihajnemu načinu, v praznem prostoru je to ravni val s frekvenco ω, priredimo harmonični oscilator s potencialom oblike V(r) = \frac{1}{2}m\omega^2r^2.
Lastna stanja njegove energije najdemo tako, da rešimo stacionarno Schrödingerjevo enačbo

\hat{H}\Psi(r) = E\Psi (r)

Za linearni harmonični oscilator ima Hamiltonova funkcija obliko

\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2r^2

kjer je p operator gibalne količine, r pa operator lege. Rešitve Schrödingerjeve enačbe za energijo so

E=\hbar \omega (n+\frac{1}{2})

Število n, ki lahko zavzema vrednosti 0, 1, 2 … nam pove, koliko fotonov s frekvenco ω se nahaja v prostoru. Za vsak dodatni foton se energija poveča za ħω, kar je znan rezultat za kvantizacijo svetlobe.

Ilustracija verjetnostne gostote v lastnih stanjih
kvantnega harmoničnega oscilatorja

Bolj zanimivo je to, da ima EMP tudi v osnovnem stanju, torej pri n=0, neničelno energijo E = ħω/2, ki jo imenujemo energija ničelne točke in je značilna za katerikoli kvantni harmonični oscilator. Torej, tudi v primeru, ko opazujemo popolnoma prazen prostor pri temperaturi 0 K, v katerem ni nobenega fotona, se v njem pojavljajo fluktuacije elektromagnetnega polja, ki jih imenujemo energija vakuuma. Velja še poudariti, da je ta energija odvisna od frekvence nihanja oscilatorja ω, ki jo določa oblika lastnih nihajnih načinov. V praznem prostoru so to ravni valovi, če pa prostor omejimo, dobimo drugačna lastna nihanja, ki so odvisna od robnih pogojev, kar je pomembno za nastanek Casimirjeve sile.

Casimirjeva sila med ploščama

Kljub temu, da so obstoj energije ničelne točke teoretično napovedali že v 20. letih 20. stoletja, dolgo časa nihče ni verjel, da bi imela le-ta dejanski fizikalni pomen. Dobro namreč vemo, da pri fizikalnih procesih večinoma igrajo vlogo le energijske razlike, torej koliko energije se porabi ali sprosti, zato lahko vrednosti za energijo prištejemo ali odštejemo poljubno konstanto, pa se rezultati ne bodo spremenili. Dolgo časa je bilo splošno sprejeto stališče, da lahko energijo vakuuma preprosto odštejemo in dalje računamo brez nje. Prav pri pojavu Casimirjeve sile pa vidimo, da energija vakuuma ni le matematični konstrukt, ampak je dejansko opazljiva in merljiva fizikalna količina.

Glavna težava pri izračunavanju Casimirjeve energije je, da se v računih neizbežno pojavljajo formalno divergentni izrazi, ki jih je potrebno obravnavati na matematično in fizikalno korekten način. V določenih primerih je neskončnost le navidezna in v končnih rezultatih odpade, včasih pa ostane tudi v končnem izrazu in jo je potrebno ustrezno fizikalno interpretirati. V takšnih primerih navadno rečemo, da je fizikalno relevantna le razlika energij med primerom, ko smo v prostor postavili meje, in med primerom praznega prostora.

Pri izračunih fiziki večinoma uporabljajo dva načina. Prvi je regularizacija izrazov s pomočjo Riemannove zeta funkcije, o kateri bomo več povedali v nadaljevanju tega poglavja. Drugi način vključuje uporabo Greenovih funkcij in je matematično bolj abstrakten in zahtevnejši, zato pa je širše uporaben in daje bolj splošne rezultate.

Izračun sile med prevodnima ploščama
Čeprav se bom v seminarski nalogi poskusil izogniti pretiranemu nizanju enačb, se mi zdi zelo poučna in zanimiva izpeljava sile med vzporednima ploščama. Račun je dovolj enostaven, da ga lahko razumemo tudi z znanjem v 3. letniku študija fizike, hkrati pa zajema večino bistvenih sestavin, ki porodijo fizikalno opazljiv pojav, kar nam pomaga vsaj približno razumeti fizikalno ozadje Casimirjevega pojava.

Casimir je pri svojem izračunu uporabil model dveh vzporednih, neskončno razsežnih, idealno prevodnih gladkih plošč (v realnosti se temu približa zrcalo) v ravnini xy, prva pri z = 0 in druga pri z = a. Da je račun enostavnejši privzamemo, da je električno polje skalar, torej se ne ukvarjamo z različnimi polarizacijami, kar seveda prinese nekoliko napačen rezultat, vendar razlika ni bistvena. Model predpostavlja tudi temperaturo 0K, ko ni termičnih fluktuacij, česar pri realni meritvi seveda ne moremo doseči. Ideja izračuna je v tem, da izračunamo energijo vakuuma med ploščama v odvisnosti od razdalje a, nato pa iz odvisnosti izračunamo silo.

Bistvena ugotovitev, do katere se je prebil Casimir, je, da se mora tudi nevzbujeno elektromagnetno polje pokoravati enakim fizikalnim zakonitostim kot navaden elektromagnetni val. Za EMV v vakuumu, ki meji na idealni prevodnik, velja Dirichletov robni pogoj Ψ (z = 0) = Ψ (z = a) = 0 .
Ob tem se moramo zavedati, da tako strog pogoj velja le v našem modelu, v resnici pa polje do določene globine prodre v prevodnik. Vdorna globina je odvisna od frekvence valovanja ω, za dovolj visoke frekvence (gamma žarki) pa robni pogoj praktično ne velja več, s čimer se v določenih primerih lahko znebimo divergentnih izrazov v izračunih.

Ob upoštevanju robnega pogoja tega lahko EMV med ploščama zapišemo kot

\Psi (x,y,z,t)=e^{i(k_x x+k_y y)}sin(k_n z)e^{-i\omega_n t} 

Vidimo, da med ploščama pride do druge kvantizacije valovanja, saj mora veljati kn = nπ/a, če naj bo izpolnjen robni pogoj. Energijo vsakega vala dobimo iz njegove frekvence

\omega_n = c\sqrt{k^2_x + k^2_y + (\frac{n\pi}{a})^2}\; ; E_n = \frac{\hbar \omega_n}{2}

kjer sta kx in ky valovna vektorja v prečni smeri in lahko zavzameta katerokoli vrednost, c pa je hitrost svetlobe v vakuumu. Za izračun celotne energije med ploščama je potrebno le še sešteti energije vseh možnih valov

\langle E \rangle = \frac{\hbar}{2}2 \displaystyle\int \frac{dk_x dk_y}{(2\pi)^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} A\omega_n

V izrazu smo dobili dodaten faktor 2 zaradi dveh možnih polarizacij, A pa je površina plošč. Energije se na ta način očitno ne da izračunati, saj je izraz divergenten. V takšnih situacijah, ki se pri izračunih energije vakuuma pojavljajo neprestano, si fiziki pomagajo s postopkom »regularizacije«.

Regularizacija je postopek, ki se ga veliko uporablja v kvantni teoriji polja, da iz izračunov odpravimo neskončnosti. Dejansko je to le matematični trik, ko izraz pomnožimo z novo funkcijo, regularizatorjem, izraz izračunamo, nato pa regularizator odpravimo. Tipičen primer je npr. Gaussov regularizator, ki je oblike

e^{-t^2 |\omega_n|^2}

Z njim opravimo izračune, v končnem rezultatu pa pošljemo t → 0 . Vidimo, da ima regularizator v tem primeru vrednost 1, kar pomeni da začetnega izraza s tem nismo spremenili, kljub temu pa smo se prebili skozi izračun.

Zelo priljubljen za računanje je tudi t. i. zeta regularizator, ki je oblike |ω |-s, kjer je s v splošnem kompleksno število. Vidimo, da je tudi tu za s = 0 njegova vrednost enaka 1. Naš izraz za energijo torej prepišemo v obliko

\frac{\langle E(s) \rangle}{A}=\frac{\hbar}{2}2\displaystyle\int \frac{dk_x dk_y}{(2\pi)^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \omega_n |\omega_n |^{-s}

Če vpeljemo polarne koordinate q2 = kx2 + ky2, lahko izraz preoblikujemo v

\frac{\langle E(s) \rangle}{A}=\frac{\hbar c^{1-s}}{4 \pi^2}\displaystyle\sum_n \displaystyle\int_0 ^\infty 2\pi q dq|q^2 + (\frac{\pi n}{a})^2|^{\frac{1-s}{2}}

 Tega integrala ni težko izračunati in nam da rezultat

\frac{\langle E(s) \rangle}{A}=-\frac{\hbar c^{1-s}\pi^{2-s}}{2a^{3-s}}\frac{1}{3-s}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |n|^{3-s}

V vsoti prepoznamo Riemannovo zeta funkcijo (od tod ime zeta regularizator). Sedaj izraz limitiramo in dobimo rezultat

\frac{\langle E \rangle}{A}=\displaystyle\lim_{s\to 0}\frac{\langle E(s)\rangle}{A}=-\frac{\hbar c\pi^2}{6a^3}\zeta(-3)=-\frac{\hbar c\pi^2}{3\cdot 240a^3}

Pri tem smo upoštevali, da je ς(-3)=1/120, kar je treba dodatno komentirati. Če ς funkcijo želimo računati kot vsoto potenc naravnih števil, ni definirana na negativni realni osi. Njeno vrednost v -3 dobimo tako, da jo s kompleksne ravnine na pravilen način analitično razširimo še na negativno realno os. Razširitev vključuje odštevanje določenih izrazov, kar lahko fizikalno razumemo kot računanje razlike med energijo prostora brez plošč in energijo polja, ko v prostor prinesemo plošče. Izraz za energijo ima zato negativen predznak, saj je plošči omejita določene nihajne načine in tako zmanjšata energijo EMV.

Za izračun sile med ploščama na enoto površine moramo izraz za energijo le še odvajati po razdalji a in tako dobimo

\frac{F_c}{A}=-\frac{d}{da}\frac{\langle E \rangle}{A}=-\frac{\hbar c\pi^2}{240a^4}=-\frac{C}{a^4}

Vidimo, da je sila precej majhna. Če vstavimo približne velikosti za Planckovo konstanto in hitrost svetlobe, dobimo za vrednost konstante C = 1,30×10-27Nm2 , kar pomeni, da lahko tlak velikostnega reda 1 Pa pričakujemo pri razdaljah okrog a ≈ 10-7m = 100nm .

Pomembna je tudi ugotovitev, da je sila med prevodnima ploščama privlačna, kar ni nujno res, če imamo opravka z dielektriki.

Casimir-Lifshitzeva sila med dielektriki

Casimirjev pojav med dielektriki je leta 1956 prvi teoretično raziskal Evgenij Mihajlovič Lifshitz. Obravnaval je primer dveh dielektričnih teles, ločenih s tretjim dielektrikom. Ena izmed zanimivih ugotovitev je, da sila v tem splošnem primeru ni nujno privlačna, kot je to v primeru prevodnih plošč v vakuumu. Računi pokažejo, da lahko z ustrezno izbiro materialov dosežemo odbojno silo, kar vodi do pojava kvantne levitacije, ki je danes eno aktualnih področij raziskav na področju mikromehanskih sistemov.



Shematični prikaz van der Waalsovih sil

Še ena zanimiva posledica sile med dielektrikoma je pojav van der Waalsovih sil. Kot smo videli že v uvodnem poglavju, je možno sile med nevtralnimi molekulami opisati s fluktuacijami naboja na molekuli. Van der Waalsovo silo izpeljemo tako, da zapišemo izraz za Casimirjevo silo med dielektrikoma. V izrazu nastopa dielektričnost snovi, ki jo izrazimo z gostoto in polarizabilnostjo posameznega gradnika. Nazadnje v izračunu limitiramo gostoto proti nič, kar lahko interpretiramo kot da nam ostane le še po en gradnik na vsaki plošči, izračunana sila pa predstavlja privlak med njima. V izrazu nastopa polarizabilnost snovi, ki nam pove, kako se obnaša naboj na gradniku v prisotnosti zunanjega polja. V takšnem modelu Van der Waalsove sile razumemo fluktuacije naboja na atomu kot posledico fluktuacij EMP, dočim je v Londonovi teoriji pogled ravno simetričen, saj predpostavimo fluktuacije naboja in rečemo, da le-to inducira EMP. Vidimo, da sta v resnici oba pogleda na problem enako dobra in dasta enake rezultate.

Lifshitzeva teorija Casimirjevega pojava v dielektrikih je uporabna tudi na drugih področjih fizike, kemije in biologije, saj nam opisuje množico pojavov, povezanih s trenjem in interakcijo kapljevin s trdnimi snovmi.

Merjenje Casimirjeve sile

Zaradi majhne velikosti in hitrega upadanja z razdaljo je merjenje Casimirjeve sile vse prej kot trivialno. Izmeriti so jo poskušali že kmalu po njenem odkritju, vendar je to prvemu s primerno natančnostjo uspelo napraviti šele Stevu K. Lamoreaux-u leta 1996.

Prvi poskus meritve sta leta 1952 izvedla Overbeek in Sparnaay. Merila sta silo med dvema ravnima steklenima ploščicama s površino 1 cm2 na razdalji 0,6 do 1,5 μm. Pri razdalji 1,2 μm sta ‘zaznala silo, ki je bila ustreznega velikostnega razreda’. Sparnaay je leta 1957 ponovil meritev s kromovo in jekleno ploščo in ugotovil, da meritve ne nasprotujejo teoretični napovedi Casimirjeve sile.

Naslednje obširne meritve sta izvedla van Blokland in Overbeek šele leta 1978, torej dobrih 20 let pozneje. Opazovala sta silo med lečo in ravno ploščo, prevlečenima s plastjo kroma, na razdaljah med 0,13 in 0,67 μm. Meritev je bila dovolj uspešna, da jo lahko štejemo za prvi uspešni dokaz Casimirjeve sile med kovinskimi površinami.

V tem poglavju bomo opisali nekaj popravkov, ki jih je potrebno upoštevati pri merjenju Casimirjeve sile, in opisali meritev s torzijsko tehtnico, ki jo je izvedel Lamoreaux, ter meritev z mikroskopom na atomsko silo (atomic force microscope – AFM).

Popravki h Casimirjevi sili za realne snovi

Pri izpeljavi sile med vzporednima kovinskima ploščama je Casimir uporabil kar nekaj predpostavk, ki jih v realnosti, torej pri meritvi sile, ne moremo uresničiti. To so predvsem neravne površine, neidealna prevodnost kovin in popravki zaradi neničelne temperature.

Neravne površine

K neravnosti površin prispevata dva dejavnika. Prvi je ta, da je silo dosti lažje in bolj učinkovito meriti, če ena izmed plošč ni ravna, ampak ima obliko krogle. V praksi je namreč zelo težko doseči, da sta plošči zares vzporedni, kar je bistveno, če želimo, da se rezultat ujema z napovedmi. S kroglo teh težav ni, saj moramo določiti le razdaljo, kjer se krogla najbolj približa plošči. Zato pa je potrebno opraviti še dodatne izračune da določimo silo, ki seveda ni enaka kot med vzporednima ploščama. Za primer krogle ob plošči je sila enaka

F(d)=2\pi RE(d) = -2\pi R\frac{\pi^2}{3 \cdot 240}\frac{\hbar c}{d^3}

kjer je R polmer krogle, d pa minimalna razdalja med kroglo in ploščo. Bistvena ideja izpeljave je, da lahko vsak košček površja krogle obravnavamo, kot da je ravna plošča, vzporedna z drugo ploščo. Napaka ni velika, saj vemo, da sila upada s 4. potenco in je torej prispevek tistih delov krogle, ki niso več vzporedni, zanemarljivo majhen.
Na izmerjeno silo vpliva tudi negladkost površin, ki je posledica nepopolnega poliranja. Pri visoko kakovostnih optičnih poliranih površinah znašajo neravnosti okrog δ = 30 nm. Sila med ploščama z upoštevanjem neravnosti je v enaka

F'(d)=F(d) [1+4(\frac{\delta}{d})^2]

Ob tem rezultatu je vredno opomniti, da to ni eksakten rezultat za Casimirjevo silo med hrapavima ploščama, saj bi za točno rešitev morali izpeljati celotno silo ob upoštevanju robnih pogojev na hrapavi plošči. Naš popravek dobro velja le tedaj, ko lahko ploščo obravnavamo kot lokalno ravno, torej ko je perioda nepravilnosti dosti večja od razmaka med ploščama. Pri meritvi s torzijsko tehtnico popravek znaša približno 1 %, pri meritvi z AFM pa okrog 30 %.

Nepopolna prevodnost

Pri izračunih Casimirjeve sile je potrebno upoštevati, da robni pogoj, ki pravi, da je EMP na površini enako 0, velja le za dovolj nizke frekvence, za visoke frekvence (nad plazemsko frekvenco ωp) pa realni prevodniki valovanja ne zaustavijo več. Popravke se da ob upoštevanju odvisnosti med prevodnostjo in frekvenco dobro izračunati numerično, velja pa omeniti, da je sama prevodnost snovi močno odvisna od debeline nanosa in načina priprave, zato so izračuni v vsakem primeru nekoliko negotovi.

Neničelna temperatura

Popravki zaradi neničelne temperature so bolj zapleteni, zato se ne bom spuščal v podrobnosti. Popravek zapišemo kot

F'(d)=F(d)[1+\frac{720}{\pi^2}f(\xi)], kjer je

f(\xi)=(\frac{\xi^3}{2\pi})\zeta(3)-(\frac{\xi^4 \pi^2}{45}) \; \xi=\frac{2\pi k_B Td}{hc}= 0,131\times 10^{-3} d/nm

pri temperaturi T = 300K. Vidimo, da je popravek zelo majhen in pri sobni temperaturi znaša okrog 10-3.

Meritev s torzijsko tehtnico

Lamoreaux je svoj eksperiment, s katerim je dokazal pravilnost Casimirjevih napovedi, začel leta 1994. Eksperiment je predlagal mladi raziskovalec v Lamoureauxovi skupini, Dev Sen. Pri študiju elektromagnetizma je izvedel za Casimirjevo silo in zanimalo ga je, če bi jo bilo mogoče izmeriti. Lamoreaux je za izvedbo predlagal visečo torzijsko tehtnico (podobna Cavendishevi tehtnici za merjenje gravitacijske konstante). Merilno napravo so sestavili kar iz odvečnega materiala , ki so ga nabrali v laboratoriju, tako da skupna vrednost ni znašala dosti več kot 300 $.

Shema naprave je prikazana na spodnji sliki. Torzijsko nihalo je obešeno na volframovo vlakno dolžine 60 cm. Na en krak nihala je nameščena ravna steklena plošča, prevlečena s plastjo bakra in zlata. Drugi krak služi kot elektroda diferencialnega kapacitivnega sistema, ki je služil za uravnovešanje Casimirjeve sile in ohranjanje nihala pri fiksnem kotu. Druga plošča je bila pritrjena nasproti prve na kosu piezoelektričnega kristala, kar je omogočalo zelo natančne premike plošče. Vse skupaj je bilo postavljeno v vakuumsko posodo.

Pri prvih meritvah je Lamoreauxjeva skupina uporabila dve ravni plošči, vendar jim jih nikakor ni uspelo ustrezno namestiti v vzporedno lego. Ko je Dev Sen diplomiral, so eksperiment opustili.

Dve leti kasneje se je Lamoreaux odločil, da poskusi še enkrat. Tokrat je eno izmed ploščic zamenjal s konveksno lečo, izboljšal je vakuum v posodi in elektronske elemente.

Junija 1996 so z napravo ponovno začeli izvajati meritve. Ko so plošče dovolj približali, se je očitno pokazalo, da nanje deluje dodatna sila. Vendar pa aparat ni bil dovolj stabilen za izvedbo meritve; ko so razdaljo med ploščama naravnali na manj kot 1 μm, se je v približno 20 minutah povečala na 5 μm. Lamoreaux je nazadnje le ugotovil, kje je vzrok za nestabilnost. Betonska tla, na katera je bila nameščena naprava, so se upognila pod njegovo težo, ko je opravljal zadnje nastavitve pred meritvijo, ko se je umaknil pa so se v 20 minutah vrnila nazaj v normalno lego. Problem je rešil tako, da je pri zadnjih finih nastavitvah stal nekoliko dlje od naprave, kar pa je, po njegovih besedah, eksperiment naredilo dokaj boleč (v anatomskem smislu). Meritve so bile tokrat uspešne in so pokazale odstopanje 5% od teoretičnih napovedi, vendar pa v rezultatih niso upoštevali nobenih popravkov zaradi neidealnosti.

Zanimivo je, da je celotni eksperiment uspel tako dobro, glede na to, da prvotno ni bil mišljen kot resna meritev ampak bolj kot demonstrativni prikaz. Za natančnejše merjenje je potrebna uporaba bolj preciznih naprav, naprimer mikroskopa na atomsko silo.

Meritev AFM

Meritev z mikroskopom na atomsko silo sta prva izvedla Mohideen in Roy leta 1998.

AFM je v osnovi namenjen tipanju površine snovi s posebno iglo, pritrjeno na elastično pero. Vzorec je nameščen na piezoelektrični nosilec, kar omogoča natančno približevanje igli. Ko se vzorec igli dovolj približa, se med njima pojavi sila, ki je odvisna od sestave vzorca in razdalje. Sila upogne pero v skladu s Hookovim zakonom, torej je deformacija kar sorazmerna s silo. Ko iglo premikamo prek površine vzorca, se pojavljajo razlike v sili na iglo, iz česar lahko določimo površinsko strukturo vzorca.

Mikroskop na atomsko silo

Odmike je možno beležiti na več načinov: na konzolo lahko namestimo uporovni listič ali piezokristal in merimo spremembo upora oziroma napetost, ki se pojavi ob deformaciji. Najbolj natančen način, ki je tudi največ v uporabi, pa je merjenje z laserjem.

Za lasersko merjenje na konzolo namestimo zrcalce in nanj pošljemo laserski snop. Ko se pero ukrivi, se spremeni tudi smer odbitega laserskega žarka, kar zaznamo z dvema fotodiodama, nameščenima čim bližje ena drugi. V osnovni legi odbiti laserski žarek usmerimo na stičišče diod, kar nam da na obeh diodah enako izhodno napetost. Odklon žarka zaznamo kot razliko napetosti med diodama s pomočjo diferencialnega ojačevalnika.

Shema meritve Casimirjeve sile z AFM

AFM običajno uporabljamo tako, da vzorec s pomočjo piezo nosilcev sproti odmikamo in približujemo igli, tako da je sila nanjo in odklon konzole ves čas konstanten, površino vzorca pa določimo iz premikov piezokristala.

Pri meritvi Casimirjeve sile na pero namesto igle namestimo kroglo ali sferično lečo. Mohideen in Roy sta na 300 μm dolgo konzolo namestila polistirensko kroglo premera 200 μm, za ravno ploščo pa sta uporabila disk iz safirja premera 1,25 cm. Vse komponente sta prevlekla s 300 nm debelo plastjo aluminija, ki ima dobre karakteristike za izvedbo meritve, zaščitila pa sta ga z 20 nm debelo plastjo zlitine zlata in platine, ki komponente varuje pred oksidacijo. Grobost površine, ki je pomembna za izračun popravkov, sta izmerila kar z AFM in znašala je 35 nm. V analizi podatkov sta upoštevala popravke zaradi neravnih površin, neidelane prevodnosti in neničelne temperature. Rezultati se izjemno dobroujemajo s teorijo, saj razlika znaša le okrog 1%. Zaradi takšne natančnosti nekateri njun eksperiment štejejo za prvo nedvomno potrditev pravilnosti teorije o Casimirjevi sili.

Leta 2001 so v Bellovih laboratorijih opravili še eno zanimivo meritev Casimirjeve sile, tokrat, kjer so uporabili napravo MEMS (microelectromechnical system, mikroelektromehaniski sistem), s katero so merili silo med polisilikonsko ploščo in kovinsko kroglo, obema prevlečnima z 200 nm zlato prevleko. Na razdalji 75 nm so ugotovili ujemanje s teorijo v okviru manj kot 0,5 %, vendar pa je sama negotovost teoretičnih izračunov okrog 1%, kar je torej tudi najboljša možna meja ujemanja.

V zadnjem času razvoj tehnologije omogoča vse boljše preverjanje teoretičnih napovedi Casimirjeve sile, kar bo v bistveno pomoč teoretičnim fizikom pri nadaljnjih izračunih, saj bodo svoje rezultate lahko končno tudi eksperimentalno preverili in ovrednotili njihovo točnost.

 Fotografija še enega eksperimenta za merjenje Casimirjeve sile

Apliciranje Casimirjevega pojava na druga področja

Dandanes je Casimirjeva sila čedalje bolj pomembna, saj komponente najnovejših mikromehanskih sistemov dosegajo dimenzije, kjer lahko Casimirjeva sila igra bistveno vlogo. Zanimanje za Casimirjev pojav pa se kaže tudi na drugih področjih fizike, kjer bi bilo z energijo vakuuma morda mogoče pojasniti nekatere še nepojasnjene fenomene. Pojavljajo pa se tudi nekatere bolj eksotične teorije, ki že mejijo na znanstveno fantastiko, ki jih bom omenil le na kratko.

Mikroelektromehanski sistemi – MEMS

Kot pove že samo ime, so MEMS sistemi izredno majhnih dimenzij, ki jih danes uporabljamo na raznih področjih, na primer v tiskalnikih, mobilnih telefonih, miniaturnih senzorjih, zaslonih itd.

Z njihovim razvojem in doseganjem vse manjših dimenzij postaja pri njihovem načrtovanju vse pomembnejše tudi upoštevanje Casimirjeve sile. Pri komponentah velikosti 1 μm ali manj lahko Casimirjeva sila že prevlada nad drugimi dejavniki, naprimer elektrostatskimi silami, kar lahko povzroči lepljenje posameznih komponent. V zadnjem času je zato vse več pozornosti posvečene snovanju sestavnih delov takšnih oblik, pri katerih je Casimirjeva sila čim manj izražena.

Drugi pojav, ki postaja čedalje bolj zanimiv za uporabo v MEMS, pa je Casimir-Lifshitzova sila. Kot smo že omenili, je sila med dielektriki lahko tudi odbojna, če uporabimo primerne snovi. Če opazujemo silo med ploščama z dielektričnostima ε1 in ε3, ločenima s tekočino z dielektričnostjo ε2, mora veljati ε1 < ε2 < ε3, če želimo, da je sila odbojna.

Leta 2008 je Mundayu in sodelavcem z AFM uspelo prvič izmeriti odbojno Casimirjevo silo. V eksperimentu so merili silo med pozlačeno kroglo in kremenovo ploščo, ki sta bili ločeni s plastjo bromobenzena. Ujemanje med izmerjeno silo in teoretičnimi napovedmi je bilo sicer kvantitativno dokaj slabo, predvsem zaradi slabo poznanih optičnih lastnosti bromobenzena, vendar pa je eksperiment jasno pokazal, da je z ustrezno izbiro materialov mogoče doseči odbojno silo med površinami.

Pojav ima ogromen potencial za praktično uporabo, saj omogoča izdelavo trajno lebdečih komponent, kar vodi v razvoj naprav in senzorjev z izjemno majhnim trenjem in zanemarljivo obrabo sestavnih delov.

Linearna agregacija rdečih krvnih telesc

Pri opazovanju krvi so biologi odkrili nastanek zanimivih formacij rdečih krvnih telesc (eritrocitov), imenovanih »linearni agregat rouleaux«. Izračuni kažejo, da bi pri nastanku teh tvorb utegnila imeti bistveno vlogo prav Casimirjeva sila.

V enostavnem modelu krvi si predstavljamo rdeča krvna telesca kot okrogle diske premera 6-8 μm in debeline 1 μm, ki plavajo v ionski plazmi. Meritve so pokazale, da imajo eritrociti negativen naboj. Če želimo pojasniti tvorjenje skupkov, moramo najti dodatno silo, ki bo uravnotežila coulombski odboj.

Obravnavamo dva eritrocita s ploskvijo A na razdalji d, njuna dielektričnost je ε1, dielektričnost plazme pa ε2. Eritrocita nosita ploskovno gostoto naboja σ. Ob predpostavki, da je d2 << A, dobimo izraz za prosto energijo na enoto površine v odvisnosti od d:

u(d)=\frac{\sigma^2 \Lambda}{2\epsilon_2}[e^{-d/\Lambda}-(\frac{\pi^2 \hbar \nu\sqrt{\epsilon_0 \epsilon_2}}{360 \sigma^2 \Lambda})\frac{1}{d^3}], kjer je v=c(\frac{\epsilon_1 -\epsilon_2}{\epsilon_1 +\epsilon_2})^2

Prvi člen v prosti energiji predstavlja električni odboj, kjer smo upoštevali senčenje (Λ je Debyejeva dolžina senčenja), drugi del pa privlak Casimirjeve sile. Tu smo predpostavili, da sta oba eritrocita vzporedna. Če sta nekoliko zamaknjena, se prosta energija poveča, kar pomeni da se pojavi prečna sila, ki ju poravna nazaj v lego z največjim prekrivanjem. To je bistveno za nastanek rouleauxjev, saj prečna Casimirjeva sila daje stolpcu eritrocitov ustrezno stabilnost. Če vnesemo podatke za eritrocite v enačbo, ugotovimo, da je s tem modelom mogoče pojasniti stabilnost linearnih agregatov.

Podobno teorijo bi bilo mogoče uporabiti tudi na drugih področjih molekularne biologije, vendar pa zaenkrat še ni narejenih ustreznih teorij, ki bi bolj podrobno opisovale Casimirjevo silo v bioloških sistemih.

Sonoluminiscenca

Sonoluminescenca je pojav, ko v vodo vbrizgamo drobne mehurčke zraka (ali žlahtnega plina) velikosti okrog tisočinke centimetra, nato pa jih izpostavimo močnemu akustičnemu polju s frekvencami ν ≈ 2×104Hz in amplitudami okrog 1 atm. Zaradi nihanja tlaka se mehurčki krčijo do najmanjšega radija ~10-4 cm, ko izsevajo močan blisk vidne svetlobe s skupno energijo ~10 MeV. Blisk traja okrog 100 ps, celoten proces krčenja in raztezanja mehurčkov pa je tako stabilen, da lahko en in isti mehurček opazujemo tudi po več minut.

Predlaganih je bilo že mnogo modelov, ki naj bi pojasnili nastanek tega fenomena, od nastanka ioniziranih območij, sevanja črnega telesa, molekulskih interakcij, neelastičnih trkov med atomi itd. Za nas je najzanimivejši predlog, ki ga je podal Julian Schwinger leta 1993, in sicer da fenomen izhaja iz energije ničelne točke oziroma iz Casimirjevega pojava. Schwiniger je bil mnenja, da bi lahko t. i. dinamični Casimirjev pojav (Casimirjev pojav pri dinamičnih robnih pogojih) zagotovil zadostno količino energije za nastanek bliskov. Opravil je tudi nekatere izračune, v katerih je pokazal, da je količina energije zadostna, vendar pa mnogo fizikov nasprotuje njegovim ugotovitvam zaradi domnevno nekorektnih postopkov pri odpravljanju divergentnosti (neskrbno zanemarjanje valovanja v ultravijoličnem spektru).

Do danes še ni jasno, kaj je vzrok sonoluminiscence, zato bodo potrebne še dodatne raziskave dinamičnega Casimirjevega pojava, preden bomo lahko dokončno potrdili ali izključili njegovo vlogo pri nastanku sonolumiscence.

Kozmologija

V okviru kozmologije je Casimirjeva energija eden možnih vzrokov za kozmološko konstanto. Prvi jo je vpeljal Albert Einstein, da bi uravnovesil privlak gravitacije v vesolju in tako omogočil model stacionarnega vesolja. Ko je bilo dokazano, da se vesolje širi, kozmološka konstanta ni bila več potrebna in dolga leta ni bila več predmet resnih raziskav. Od 90. let prejšnjega stoletja, ko je bilo ugotovljeno, da se vesolje širi pospešeno, kozmološka konstanta, znana tudi pod bolj privlačnim imenom temna energija, ponovno žanje vse več pozornosti, vendar zdaj z namenom, da vzpostavi model vesolja, ki se širi pospešeno.

Celotna razlaga, kako bi Casimirjev pojav utegnil biti povezan s temno energijo, je precej zapletena. Določeni modeli kažejo, da Casimirjeva energija vsebuje ustrezne dimenzijske odvisnosti, da bi lahko bila kandidat za razlago pojava, vendar pa je potrebno predpostaviti obstoj višjih dimenzij. V teh modelih predstavlja prostorsko omejitev za elektromagnetno polje kar velikost dodatnih dimenzij, iz česar se porodi Casimirjeva energija.
Količina temne energije je precej dobro določena iz opazovanj supernov tipa Ia ter anizotropije sevanja ozadja in znaša ΩΛ = 0,7 . Če modeli držijo, je mogoče iz te vrednosti določiti velikost dodatnih dimenzij; izračuni kažejo, da naj bi bile te reda velikosti a ≈ 10µm , kar se po besedah strokovnjakov zdi ustrezen rezultat. Seveda pa bodo tudi na tem področju potrebne še dodatne raziskave in izračuni, preden bo mogoče z gotovostjo trditi, da je vzrok kozmološke konstante res energija vakuuma.

Scharnhorstov pojav in nadsvetlobna hitrost

Še en zanimiv pojav, povezan s Casimirjevim pojavom, ki že meji na znanstveno fantastiko, sta napovedala nemški fizik Claus Scharnhorst in angleški fizik Gabriel Barton. V svoji teoriji pravit, da bi hitrost svetlobe med Casimirjevima ploščama presegla hitrost svetlobe v vakuumu.

Ko foton potuje skozi vakuum, se siplje na kvantnih fluktuacijah in pri tem lahko nastane par elektron-pozitron, ki je nestabilen in se hitro anihilira, pri tem pa ponovno nastane foton. Proces tvorbe in anihilacije je sicer hiter, vendar pa kljub temu povzroči rahlo zakasnitev v potovanju fotona, kar se odraža kot zmanjšanje hitrosti svetlobe. Med Casimirjevima ploščama je število fluktuacij manjše, kar pomeni, da se fotoni manj sipljejo in je torej hitrost svetlobe večja kot v navadnem vakuumu.

Scharnhorst in Barton sta dokazala, da je lomni količnik med Casimirjevima ploščama manjši od ena, kar pomeni da je fazna hitrost svetlobe res večja od c, ni pa jima uspelo pokazati, da je takšna tudi grupna hitrost, kar bi omogočalo pošiljanje informacij z nadsvetlobno hitrostjo.

Napovedana sprememba hitrosti je v vsakem primeru zelo majhna, za plošči, razmaknjeni za 1 μm, znaša relativna razlika le 10-36, kar je s sedanjo tehnologijo nemogoče izmeriti, kar pomeni da obstoja Scharnhorstovega pojava zaenkrat ne moremo ne potrditi ne ovreči.

Zaključek

Videli smo, da je Casimirjeva sila relativno nov pojav v svetu fizike. Kljub temu, da se teorija razvija že dobrih 60 let, smo prve relevantne meritve dobili šele pred dobrimi desetimi leti, razvoj merilnih instrumentov pa nam danes omogoča čedalje boljše preverjanje teoretičnih napovedi.

Kljub temu, da ima izraz energija vakuuma še vedno nekoliko eksotičen pridih, so z njo povezani pojavi dokaj naravni in imajo v zadnjem času vse pomembnejšo vlogo tudi na povsem praktičnih področjih, na primer v MEMS. Eksperimentalni uspehi pri meritvah Casimirjeve sile v zadnjih letih dajejo slutiti, da energije vakuuma kmalu ne bomo več le opazovali, temveč bomo z njo tudi aktivno manipulirali, na primer z uporabo kvantne levitacije.

Teorija Casimirjeve sile še vedno skriva precej eksotičnih skrivnosti, ki jih še ne razumemo in jih bo v prihodnosti potrebno še temeljito raziskati. Sem sodi predvsem nadsvetlobna hitrost, obstajajo pa tudi ugibanja o povezavi energije vakuuma s stabilnimi črvinami in o vesoljskih potovanjih z nadsvetlobno hitrostjo. Ti pojmi za danes še sodijo na področje znanstvene fantastike, vendar pa smo v zadnjem stoletju prav v fiziki doživeli toliko spektakularnih prebojev, da je dobro pustiti odprto možnost, da tudi tako čudne teorije v sebi nosijo kanček resnice.

singularity

Simbolična slika Casimirjeve sile med kroglo in ploščo

, , , , ,

  1. #1 by Ana on February 10, 2011 - 22:59

    http://physicsworld.com/cws/article/news/45048
    termalna Casimirjeva sila 🙂

(will not be published)