Fraktalne strukture


Na pobudo nekaterih študentov objavljam svoj seminar o fraktalnih strukturah, ki sem ga letos opravil pri istoimenskem predmetu. Uredništvo FMF revije vsem toplo priporoča, da se znebite te dolžnosti čimprej po prihodu v tretji letnik. Pripombe in komentarje sprejemam na mitja.drab@gmail.com.

fraktali v resničnem življenju :)

Zgodovinsko ozadje

V preteklosti se je matematika ukvarjala predvsem z množicami in funkcijami, na katerih so bile lahko izvedljive operacije klasične analize. Funkcije, ki niso bile gladke ali zvezne so veljale za nevredne obravnave in zato velikokrat prezrte. Bile so dojete kot samostojne zanimivosti in le redko se je zdelo, da bodo kdaj našle prostor v splošni teoriji. Zgodovinsko se je koncept fraktala prvič pojavil leta 1872, ko je Karl Weierstrass predstavil primer grafa funkcije, ki je bila povsod zvezna, a nikjer odvedljiva. Leta 1904 je Helge von Koch, nezadovoljen z Weierstrassovo abstraktno definicijo podal opis v bolj geometrični obliki z likom, ki je danes znan kot Kochova snežinka. Začnemo z enakostraničnim trikotnikom, kateremu nato na vsako srednjo tretjino stranice narišemo enakostranični daljici tako, da ti dve spet tvorita enakostraničen trikotnik. Ta postopek nato ponovimo na šestih stranicah teh manjših trikotnikov in tako naprej. Z vsako iteracijo povečamo obseg lika za tretjino prejšnjega. Obseg Kochove krivulje je po n-ti iteraciji enak

 O_n = 3a(\frac{4}{3})^n

Kochova snežinka 

Kochova snežinka je krivulja, ki nastane, ko gre število iteracij prek vseh meja, njena posebna lastnost pa je, da ima končno ploščino in neskončen obseg. Po še toliko iteracijah lahko namreč lik vedno orišemo s krogom radija R = a / √3. Kmalu se je od raznih matematikov pojavilo še več krivulj s podobnimi “pošastnimi” lastnostmi: Preproga Sierpinskega, Mengerjeva spužva (telo z neskončno površino in prostornino nič), Cantorjeva množica (imenovana tudi “Cantorjev prah”, ali interval [0,1], ki mu na začetku izrežemo srednjo tretjino, nato pa ostankoma – intervaloma [0, 1/3] in [2/3, 1] izrežemo srednji devetini ter postopek tako nadaljujemo na neizrezanih delih) ter Lévyjeva “C” krivulja, če naštejemo le nekatere. Raziskave so potekale tudi z iteracijami raznih funkcij v kompleksni ravnini (Poincaré, Klein, Julia), a zaradi omejenih sposobnosti vizualizacije in grafičnega prikaza znantnega napredka ni bilo do 60. let 20. stoletja.

Drug poglaviten vidik, ki je ločil te nove objekte od navadnih evklidskih likov pa je karakteristična dolžina. Vse like ali telesa lahko razdelimo v dve skupini glede na to ali imajo karakteristično dolžino ali ne. Karakteristična dolžina je neka tipična razdalja, ki definira velikost telesa, o katerem govorimo. Pri človeku je to lahko recimo njegova višina ali dolžina stopal, pri krogu premer. Liki in telesa brez karakteristične dolžine pa so v splošnem fraktali.

Prvi pomembni koraki v razvoju fraktalne geometrije so se pojavili, ko je poljski matematik Benoit Mendelbrot leta 1967 v reviji Science objavil članek “How long is the coast of Britain?”. V prvem delu članka govori o paradoksu dolžine obale, ki, presenetljivo, zavzema različne vrednosti v odvisnosti od merila, v katerem jo merimo, saj nima karakteristične dolžine. Paradoks je povsem empiričen: Če se odoločimo, da bomo izmerili dolžino obale v korakih po 200 kilometrov, bomo dobili manjši rezultat, kot, če bi jo merili v korakih po 50 kilometrov. Logika je preprosta, pri večjem merilu izpustimo lastnosti obale, ki so proti izbranemu merilu majhne, tako recimo pri koraku 10 kilometrov zanemarimo vse manjše zalivčke in rte. Da prikažemo netrivialnost te trditve, se vrnimo nazaj k meritvam, ki so enkrat tekle po korakih 200 km, drugič po 50 km. V prvem primeru dobimo rezultat za dolžino obale 2400 kilometrov, medtem ko pri le štirikrat manjšem merilu ta vrednost zraste za dodatnih tisoč kilometrov, torej na 3400. Problem ni bil prvotno predlagan z Mandelbrotove strani, nanj je nekaj let predhodno opozoril angleški znanstvenik Lewis Fry Richardson, ki je z empiričnimi opazovanji odkril povezavo med dolžino obale L in povečavo oziroma merilom G:

 L(G) = MG^{1-D}

Iz izraza je očitno, da dolžina ne limitira, ko gre povečava prek vseh meja. Zaradi tega je Mandelbrot sklepal, da imajo obale samopodobne lastnosti, ter da potenca D podaja njihovo Hausdorffovo dimenzijo. To je splošnejša oblika dimenzije, ki velja tudi za fraktalne objekte, kot bomo videli v nadaljevanju. Richardson na potenco ni obrnil veliko pozornosti. Mislil je, da je število odvisno od vsake obale posebej, ter da se razlikuje tudi za eno obalo pri različnih povečavah.

Fraktalna dimenzija 

Z namenom definicije fraktalne dimenzije za začetek osvetlimo nekaj osnovnih pojmov. Prvo si poglejmo dobro poznano topološko dimenzijo množice. Topološka dimenzija množice je število neodvisnih parametrov, ki jih moramo navesti, da definiramo katerokoli točko v tej množici. Tako ima točka topološko dimenzijo enako ena, premica dva, tetraeder tri. V splošnem je topološka dimenzija naravno število, a izkaže se, da vedno ni tako. Za uporabo pojma dimenzije na fraktalih moramo o dimenzijo definirati drugače.

Hilbertova krivulja

Za primer si oglejmo Hilbertovo krivuljo, katero lahko narišemo v eni potezi, hkrati pa z njo lahko popolnoma prekrijemo kvadrat ali ravnino (po neskončnem številu iteracij seveda). Sedaj lahko točko na kvadratu, ki je običajno dvodimenzionalna, označimo s točko na krivulji, kar pa se ne sklada z našo predstavo. Vidimo, da je potrebno o pojmu dimenzije še enkrat razmisliti na osnovi samopodobnosti.

Če daljico, kvadrat ali kocko razdelimo na za ½ manjše dele v vsaki prostorski smeri, je število teh delov 2, 4 oziroma 8, iz česar sklepamo, da gre za 2D delcev, kjer je D število dimenzij. Če bi Hilbertovo krivuljo razdelili na polovico manjše dele, bi dobili štiri dele, torej je Hilbertova krivulja dvodimenzionalna. To definicijo dimenzije imenujemo tudi podobnostna dimenzija. Povedano nekoliko drugače, če je objekt sestavljen iz N podobnih delcev velikosti 1/l originala v vsaki prostorski smeri, je njegova dimenzija

D = \frac{log N (l)}{log l}

Spomnimo se Kochove snežinke, enega prvih definiranih fraktalov, še preden so dobili to poimenovanje. Potrebovali bomo le tretjino začetnega enakostraničnega trikotnika. To je naprimer daljica z dolžino A. V naslednjem koraku odstranimo srednjo tretjino stranice in jo nadomestimo z dvema enako dolgima tretjinama tako, da dobimo enakostraničen trikotnik brez osnovne stranice na dnu. Prva iteracija naredi iz prvotne stranice štiri, ki so ji podobne oziroma samopodobne. Dolžina vsakega odseka je tretjina dolžine prvotne stranice A, torej je l = 3. Če ta postopek iteriramo v neskončnost, kot to terja definicija Kochove snežinke, dobimo v n-tem koraku 4n samopodobnih delov, katerih dolžina pada s 3n. Dimenzija Kochove snežinke je tako

D = \frac{log 4}{log 3} = 1.2618

kar ni naravno število. Kaj sploh pomeni realna vrednost dimenzije? Intuitivno jo lahko dojamemo tako, da si mislimo, da je med dvema točkama na krivulji dolžina odseka neskončna, torej je ne moremo klasificirati kot navadno krivuljo, hkrati pa odsek tudi ne zavzema nikakršne ploščine. To nekako nakaže na dejstvo, da se dimenzija giblje med ena in dva.

V primeru Cantorjevega prahu pa vidimo, da je fraktalna dimenzija množice

D = \frac{log 2}{log 3} = 0.6309

torej med 0 in 1. Tako le-ta ne klasificira niti kot točka in niti kot daljica, temveč, intuitivno, nekaj vmes. Fraktalna dimenzija je lastnost fraktala, ki se ohranja prek vseh povečav in je zato dobro definirana, poleg tega nam pa tudi pove, kako kompleksen je fraktal.

Podobnostna dimenzija pa ni definirana za like, ki si niso samopodobni. Hausdorff je rešil ta problem za poljubno množico E s pomočjo pokritij

M_D(E) = \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle \inf_{r_k < \epsilon} \sum{r_k ^D}

Tu so r1, r2, …, rk radiji krogel (krožnic) s katerimi pokrivamo množico E. MD je mera množice v D dimenzijah in je ekvivalentna dolžini pri D=1, ploščini pri D=2 itn. Dokazano je, da pri določeni vrednosti D = DH vrednost MD ne divergira, niti ni enaka nič. DH je Hausdorffova dimenzija množice in je razširitev podobnostne dimenzije.

Fraktalne dimenzije se v splošnem ne da računati po zgoraj navedenem postopku, saj je to mogoče le na čistih matematičnih konstruktih, ki pa jih v naravi ni. Kljub veliki natančnosti je zgornja definicija za fiziko bolj ali manj neuporabna, saj ε ne more biti poljubno majhen, pa tudi fraktale opazimo samo v določenem velikostnem območju. V praktične namene se za določanje dimenzije največ uporablja metoda “štetja škatel” (box-counting dimension), kjer preučevani fraktal pokrijemo s kvadratno mrežo, ki jo nato vse bolj manjšamo in opazujemo spreminjanje števila kvadratkov, potrebnih, da pokrijemo celotno množico. Rezultat je seveda približek, ki ga izračunamo na željeno število mest.

Klasifikacija fraktalov in Mandelbrotova množica

V primeru Kochove snežinke in Cantorjevega prahu smo govorili o iterirajočih tehnikah definiranja fraktalov. To so fraktali, ki jih ustvarjamo z nekim nadomestitvenim pravilom in so načeloma najbolj samopodobni. Poleg te obstajajo še tri osnovne tehnike generiranja fraktalov:

  • časovno-ubežni fraktali. Definirani so z neko rekurzivno formulo, ki se ponavadi nanaša na kompleksna števila. Po samopodobnosti niso eksaktno samopodobni, na raznih povečavah se kažejo kot degenerirane in popačene slike originala
  • slučajni fraktali (generirani s pomočjo stohastičnih in nedeterminističnih procesov, naprimer Brownovo gibanje ali DLA (Diffusion-limited aggregation) – akumulacija delcev kot posledica naključnih sprehodov, recimo v mineralnih depozitih). Po samopodobnosti so velikokrat močno popačeni, čeprav se prek meril ohranjajo določene statistične količine in
  • čudni atraktorji (generirani z iteracijo rešitev sistema diferencialnih enačb, ki predstavljajo kaotično vedenje)

Najbolj znan in populiziran pa je gotovo fraktal, ki nosi danes ime po samem Mandelbrotu – to je Mandelbrotova množica. Je fraktal iz časovno-ubežne kategorije in je definiran z iterativno funkcijo v kompleksni ravnini:

z_{n+1} = z_{n}^{2}+c

Matematično gledano je Mandelbrotova množica set kompleksnih števil, za katere zgoraj navedena iteracija ostane omejena. Rečemo, da ima vsaka točka svojo orbito, ki je definirana s trajektorijo točke, ko jo podvržemo iteraciji. Tako za vsako točko nekega območja v kompleksni ravnini lahko po končnem številu iteracij velja natanko ena od štirih možnosti :

a) konvergira k nič

b) divergira v neskončnost

c) oscilira med nekaj vrednostmi

d) ne kaže nikakršnega vzorca

 

Mandelbrotova množica

Slavna računalniška grafika Mandelbrotove množice deluje prav po tem principu. V primeru a) so točke pobarvane črno in se nahajajo v notranjosti, medtem ko je del b) v zunanjosti množice. Da se dokazati, da vsaka točka, ki se nahaja dlje kot |2| enoti od izhodišča, pade v kategorijo b), torej, da zdivergira. Na ta način tudi definiramo ubežni test, če želimo napisati program za risanje Mandelbrotove množice. Točki c) in d) se nanašata na mejo množice, ki je v grafičnem prikazu živo pobarvana, torej kodirana na način, ki ustreza številu iteracij, ki so za točko potrebne, da še pripada Mandelbrotovi množici (ne ubeži).

Ponavadi za c nastavimo kar z_0. Če naprimer vstavimo za z_0 = 1, dobimo zaporedje, ki divergira: 1, 2, 5, 26, …, torej 1 ni element Mandelbrotove množice. V nasprotnem primeru pa recimo začetna vrednost z_0 = -0.1 + 0.5i vrne zaporedje -0.34 + 0.4i , 0.0556 + 0.228i , -0.1488 + 0.4747i, …, ki pa je element množice. Najbolj zanimive so točke na robu konvergenčnega območja, saj ob povečavi ne razkrijejo podrobnosti, temveč so več ali manj samopodobne povečanemu delu in zdi se nam, kot da bi gledali prejšnjo sliko. Tako ob poljubni povečavi meje Mandelbrotove množice niso nikoli povsem gladke, v njih se razkriva malo morje variacij na začetno obliko, najzanimivejše pa je seveda dejstvo, da ta široka paleta oblik izhaja iz povsem preproste iterativne enačbe. Mandelbrotova množica je fraktal s Hausdorffovo dimenzijo 2, še vedno pa ni znano, ali ima pozitivno Lebesguevo mero. Ploščina, ki jo omejuje je 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, presečišče z realno osjo je točno interval [-2, 0.25], nekaj drugih lastnosti pa vključuje tudi kompaktnost in povezanost, ter korelacijo z bifurkacijskimi diagrami teorije kaosa. Zanimivo je tudi dejstvo, da Mandelbrotova množica na pogled razkriva veliko oblik, prisotnih v naravi. V njej lahko opazimo modele krošenj dreves, rečnih strug in galaksijskih kopic.

Fraktali in deterministični kaos

Teorija kaosa je kot znanost dokaj mlada in se ukvarja z nelinearnimi dinamičnimi sistemi, ki kažejo izrazito občutljivost na začetne pogoje. Kot posledica te občutljivosti, ki se izraža kot eksponentna rast majhnih razlik v začetnih pogojih (poljudno poznano pod izrazom “učinek metulja”), se obnašanje kaotičnih sistemov zdi naključno. Zelo majhne razlike v začetnih stanjih sistemov lahko vodijo do ogromnih razlik v končnih stanjih, tudi na kratkih časovnih intervalih. To velja tudi za sisteme, ki so v osnovi deterministični, zato tem pojavom pravimo deterministični kaos ali preprosto kaos. Danes vemo, da so ti procesi velikokrat povezani s fraktali.

Za preprosto demonstracijo povezanosti fraktalov s kaosom poglejmo osnovni problem Verhulstove dinamike. Pierre François Verhulst je bil Belgijski matematik in zdravnik, ki je v 19. stoletju raziskoval živalske populacijske modele. Preučeval je diferenčno enačbo oblike

 x_{n+1} = rx_n (1-x_n)

kjer je xn populacija ob letu n (x0 je začetna populacija), ter r faktor rasti, ki je odvisen od rodnosti in umrljivosti. Z variiranjem r-ja dobimo s časom različne populacijske modele. Pri r, ki je med 0 in 1, bo populacija po nekem času izumrla, ne glede na začetno vrednost populacije. Pri r med 1 in 2, se bo populacija hitro ustalila na vrednosti (r-1)/r, ne glede na začetno populacijo. Pri vrednostih r med 2 in 3 se bo populacija ustalila na isti vrednosti kot v prejšnjem primeru, le da bo pred ustalitvijo okoli te vrednosti rahlo oscilirala. Z večanjem parametra r se obnašanje našega populacijskega modela začne obnašati vse bolj komplicirano. Tako pri r med 3 in 1+√6 (približno 3.45) populacija oscilira med dvema vrednostima za vse čase n, medtem ko za vrednosti r med 3.45 in 3.54 oscilira med štirimi vrednostmi. Ko povečujemo vrednost r-a čez 3.54, začne populacija oscilirati med 8, 16, 32,… vrednostmi, pri 3.57 pa prvič opazimo kaotično vedenje populacije. Majhne razlike v začetni populaciji vračajo s časom močno različne rezultate, kar je glavna značilnost kaotičnega vedenja. Z nadaljnjim večanjem parametra r večina točk demonstrira kaotično vedenje in pri r = 4 vrednosti zapustijo interval [0,1]. Poznamo pa redke izjeme, ki jim rečemo otoki stabilnosti. Na primer, pri vrednosti r 1 + √8 (približno 3.83) rezultati zopet oscilirajo med vrsto možnosti, tako kot na začetku, le na manjšem merilu. Če pa zgoraj opisani postopek prikažemo z grafom, ki ima na x osi vrednosti parametra r, na y pa vrednost začetne populacije – takoimenovani bifurkacijski diagram – dobimo nazoren dokaz, da je le-ta fraktal. Če na njem povečamo območje prej omenjenega otoka stabilnosti, torej približno pri vrednosti r = 3.83, opazimo, da tam izgleda kot le nekoliko skrčena in popačena slika celotnega diagrama. Isto velja tudi za vse ostale nekaotične točke diagrama. Podobne povezave s fraktali se kažejo tudi drugje. Fazni diagrami raznih kaotičnih sistemov (naprimer dvojnega sklopljenega nihala) so po dolgih časih invariantni na povečavo. Zanimivo pa je tudi ujemanje Mandelbrotove množice z bifurkacijskim diagramom, opazimo namreč, da v merilu glavne razvejitve bifurkacijskega diagrama popolnoma ustrezajo razmerjem odcepljenih krožnih izsekov Mandelbrotove množice. Hausdorffova dimenzija bifurkacijskega diagrama je 0.538.

Bifurkacijski diagram

Še en primer pojava fraktalnih oblik v povezavi z naključnimi procesi so iterirani sistemi funkcij (IFS – Iterated Function System). Tu imamo opraviti z dvema funkcijama v ravnini, ki na določen način bijektivno slikata točke ravnine v neko omejeno območje ravnine. Unija dveh takih transformacij nam v vsakem koraku spremeni definicijsko območje. Ko z iteracijo nadaljujemo, transformaciji točke slikata na podoben način, a seveda glede na novo definicijsko območje. Tako po nekaj ponovitvah dobimo samopodobne (fraktalne) strukture.

Poglejmo si primer takih transformacij na primeru dveh iterativnih funkcij

kjer so koeficienti od a do f nekajkrat neodvisno določeni vnaprej in sicer tako, da definiramo neko verjetnost, da se izbere točno določen set šestih vrednosti. Za iteracijo, ki vrne znamenito Bernsleyevo praprot, določimo štiri sete:

Operacije potekajo v kartezičnem koordinatnem sistemu. Prvo točko narišemo v izhodišču (0, 0), nato pa nove točke iterativno računamo z izbiranjem zgoraj navedenih setov, vsakega s svojo ustrezno verjetnostjo. Rezultat je omenjena fraktalna praprot s teoretično neskončno kompleksnostjo in samopodobnostjo na vseh povečavah in predstavlja še eno povezavo med naključnostjo in fraktali.

tvorba Barnsleyeve praproti

Fraktali v naravi in fiziki

Prvo in morda najpomembnejše delo, v katerem so bile fraktalne strukture grafično prikazane na dolgo in široko je bila Mandelbrotova “The Fractal Geometry of Nature” iz leta 1983. Knjiga se začne s stavkom: “Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line ” (Oblaki niso sfere, gore niso stožci, obale niso krožne in drevesna skorja ni gladka in niti strela ne udari v ravni črti.) V knjigi najdemo veliko računalniško simuliranih ilustracij, ki so tisti čas vzbujale občudovanje in prebudile zanimanje nad novo nastajajočo matematiko, ki jo je Mandelbrot imenoval kar matematika narave. Danes vemo, da se končne fraktalne strukture pojavljajo v vaskularnih, dihalnih in živčnih sistemih; že če pogledamo naša pljuča, vidimo, da imajo veliko karakteristik Mengerjeve spužve, saj kljub ogromni površini (približno 196 m) zavzemajo relativno majhno prostornino. Drugi primeri vključujejo strukture dreves in listov (fraktalna dimenzija med 1.3 in 1.8), brokolija, školjk morskih polžkov in okostij morskih ježkov, koral, kristalov, oblakov, fjordov in rečnih delt.

En primer fraktalne kristalne rasti je povezan z dendriti, kristali s tipično razvejano obliko. Primeri so formacije slane in snežink, velikokrat pa jih lahko najdemo tudi v zemlji, kjer močno spominjajo na fosile (pravijo jim tudi psevdofosili). Formirajo se v špranjah skal, ko skozi njih teče voda, obogatena z magnezijem in železom. Zanimivi so tudi primeri struktur snežink. Snežinke imajo izrazito šestkotno simetrijo, to pa zato, ker ima led pri normalnem tlaku heksagonalno kristalno strukturo. Formacija poteka na način, ki je povezan z akumulacijo delcev na delih snežinke, ki imajo najmanj sosedov. To se zgodi na ogliščih, zato se večina delcev odlaga prav tam, to pa se nato nadaljuje in tako dobimo značilno fraktalno obliko. V nasprotju z načelom vodnih kapljic, ki se pri dani prostornini vedno oblikujejo tako, da njihova meja tvori najmanjšo površino, fraktalne fronte težijo k vse večjemu razvejanju. Zaradi različnih tlakov in temperatur ter vrst kondenzacijskih jeder, ki se pojavijo med formacijo snežinke pa seveda dobimo velik spekter raznoraznih oblik.

Fraktalna geometrija se pojavi tudi v seizmologiji, kjer imamo Gutenberg-Richterjev zakon, ki pravi:

log N(M) \propto -bM, b \approx 1

kjer je M magnituda potresa, N(M) pa število potresov z magnitudo večjo od M. Če v ta zakon vstavimo energijo, ki je sorazmerna z 2/3 logaritma magnitude, dobimo N(X) α X-2/3b, kar je že prva fraktalna lastnost. Poleg tega je porazdelitev potresov po Zemlji ni enakomerna temveč so potresi zbrani v skupke. Napaka pri ocenjevanju takih skupkov je sicer velika, tako da za velikost fraktalne dimenzije dobimo podatke od 1.2 do 1.5. Tretja lastnost pa se skriva v frekvenčni odvisnosti popotresnih sunkov, saj številska gostota le-teh upada s potenčnim zakonom, znanim kot Omorijeva formula:

 n(t) \propto t^{-P}, P \approx 1

Primeri, povezani z astronomijo (fraktalna kozmologija) vključujejo skupke zvezd, kraterje na asteroidih in Saturnove obroče. Kraterji na asteroidih sledijo zakonu N(r) α r-D, kjer je N(r) število kraterjev s polmerom, večjim od r. Kaže, da je vrednost D-ja univerzalna, saj je ne glede na to, kje merimo, približno enaka 2. Ko sta Voyager 1 in 2 od blizu posnela Saturnove obroče, se je presenetljivo izkazalo, da imajo nekateri lastnosti Cantorjeve množice.

Brownovo gibanje

Brownovo gibanje je bilo prvič opisano leta 1827, ko je botanik Robert Brown opazil, da se majhni delčki na površini tekočine gibljejo po zelo nepredvidljivih poteh. Podobno se dogaja tudi z delci dima v zraku, oboje pa je bilo razloženo kot posledica molekularnih trkov. Brownovo gibanje lahko predstavimo na dva načina. Če definiramo funkcijo f: R → Rn, kjer je f(t) položaj delca pri času t, lahko f predstavimo kot pot delca f([t1,t2]) = {f(t): t1≤ t ≤t2} v podmnožici Rn, kjer je t le parameter, ali pa si ogledamo graf f: f = {(t, f(t)): t1≤ t ≤ t2} in s tem nazorno prikažemo variacijo f s časom. V splošnem so poti Brownovega gibanja fraktalne z definirano fraktalno dimenzijo. Čeprav je klasično Brownovo gibanje velikega teoretičnega pomena v matematičnem modeliranju, je včasih preveč nezanimivo. Brownovo funkcijo se vzorčno velikokrat smatra kot tipično naključno funkcijo, saj so koraki med seboj popolnoma nekorelirani. Leta 1968 je Mandelbrot predlagal splošnejšo verzijo opisa naključnega gibanja, ki jo danes imenujemo fraktalno Brownovo gibanje. Čeprav so koraki še vedno normalno distribuirani, so med seboj lahko korelirani. Neodvisni koraki ∆Xi upoštevajo D(∆X1∆X2) = 0, kjer je D kovariantna funkcija, ki podaja koreliranost med stohastičnima spremenljivkama. Fraktalno Brownovo gibanje pa upošteva enakost

 D(\Delta X_1 \Delta X_2) = \frac{\sigma^2}{2}[(t+\Delta t)^{2H}-t^{2H}-(\Delta t)^{2H}]

Grafi enodimenzionalnega Brownovega gibanja pri različnih vrednostih Hurstovega parametra 

kjer je H ∈ (0,1) Hurstov parameter, ki ga razumemo kot koreliranost med dvema naključnima korakoma ∆X1 in ∆X2, ki si časovno sledita za časovno razliko ∆t. Izkaže se, da je fraktalna dimenzija takega gibanja enaka 1/H. Če je H = ½, je koreliranost enaka nič in dobimo klasično Brownovo gibanje z dimenzijo 2. Če je H > ½, je proces pozitivno koreliran, kar pomeni, da se delec nagiba h podobnemu gibanju, kot ga narekujejo prejšnji koraki, torej je njegova pot v splošnem bolj gladka. Če pa je H < ½, je pot negativno korelirana, kar pomeni da delec teži k nasprotno usmerjenem gibanju, kot ga narekujejo njegovi predhodniki. Take poti so močno razdrobljene in imajo zato večjo fraktalno dimenzijo.

Če gledamo Brownovo gibanje na območju, kjer se delec iz začetne točke po nekem času spet vrne vanjo, dobimo takoimenovane “Brownove mostove”, ki služijo kot dobri modeli obal otokov, ki so samopodobni na raznih merilih.

Kinetična agregacija

Ena od posledic Brownovega gibanja, ki ima prav tako opravka s fraktalnimi strukturami, je difuzijsko omejena agregacija (DLA – Diffusion-Limited Aggregation). Teorija, ki je bila predlagana leta 1981 se navezuje na kopičenje v sistemih, ki za glavno transportno sredstvo uporablja difuzijo. DLA (v nadaljnjem: kinetična agregacija) je tudi tesno povezana s fraktalno rastjo, ki jo lahko opazujemo v naravi. Drevesa, katerih veje se delijo v vse manjše in manjše vejice, koreninski sistemi, ter nekatere rastline (še posebej evolucijsko bolj primitivne vrste rastlin, kot so naprimer lišaji, mahovi in alge) imajo na določenih merilih značilne fraktalne oblike.

Ker so biološki principi matematično prezahtevni za simulacijo, si oglejmo delovanje DLA na primeru elektrolize bakrovega sulfata (CuSO4). Dno okrogle posode pokrijemo z raztopino CuSO4. V središče posode postavimo okroglo bakreno anodo, po notranjem obodu posode pa namestimo bakreni trak, ki nam služi kot katoda. Če na sistem priključimo napetost nekaj voltov, se čez nekaj minut na obodu anode začne pojavljati depozit bakra. Po pol ure opazovanja se baker razširi v fraktalne veje, dolge nekaj centimetrov. Zaradi napetosti se vsaka molekula CuSO4 v posodi razdeli na bakrove Cu2+ in sulfatove SO22- ione, ki nato po zgledu naključne hoje krožijo po posodi. Ko bakrov ion pride do katode, prejme dva elektrona in se izloči na katodi kot baker. Podobno se izločijo tudi ostali ioni, ki zadanejo baker že formiran na posodi, tako da usedlina raste stran od katode. Če predpostavimo Brownovo gibanje ionov, ki ga do neke mere ovira električno polje, vidimo, da imajo ioni večjo možnost za nanos na te fraktalne veje kot neposredno na katodo.

Matematični model kinetične agregacije se naredi na preprost način in temelji na mreži kvadratkov. Imamo obarvani osnovni kvadratek, ki leži v središču kroga in predstavlja katodo. Z naključne točke z oboda kroga v notranjost spustimo delec, ki sledi Brownovemu gibanju (v zgornjem poskusu s CuSO4 bi premočen vpliv na Brownovo gibanje bakrovih ionov s strani električnega polja lahko modulirali z nekaj raztopine natrijevega sulfata, ki bi senčil bakrove ione) dokler ne zapusti kroga ali doseže kvadratek, ki je soseden osnovnemu in se tudi sam obarva. Če model ponovimo za nekaj 10,000 obarvanih kvadratkov, dobimo že zelo razvejano strukturo, ki spominja na tisto, opaženo pri poskusu. Tako poskus in simulacija dasta zelo podobna vrednosti za fraktalno dimenzijo. Dvodimenzionalni primer dá približno 1.70, trodimenzionalni pa 2.43.

Obstaja tudi boljši model kinetične agregacije, ki upošteva še dejstvo, da se ionov v notranjost oboda ne spušča enega za drugim, temveč, da je v raztopini že veliko ionov, ki se lepijo na obstoječo usedlino. Definirajmo gostoto ionov u(x, t), tako da je število ionov zaobjetih v krogu s središčem v x in s ploščino δx enako u(x, t)δx. Ob predpostavki, da ioni sledijo naključnim Brownovim potem, se bodo vsi ioni zaobjeti v krogu ob času t razšli, tako, da bo ob času t+h njihova gostota podana z dvodimenzionalno normalno porazdelitvijo:

\delta u(x',t+h) = \frac{1}{2 \pi h}exp(- \frac{(x-x')^2}{2h}) u(x,t)\delta x

in torej

 u(x',t+h) = \frac{1}{2 \pi h} \int{exp(- \frac{(x-x')^2}{2h}) u(x,t) dx}

kjer integriramo po vsem področju posode. Če pod integralskim znakom odvajamo po x’ in h, dobimo za enačbo, ki opisuje spremembo ionske gostote

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2} \nabla^2 u

kar ni nič drugega kot difuzijska enačba. Z upoštevanjem robnih pogojev u = u_0 in |x| = r_0 (polmer posode) in funkcije, ki napove hitrost rasti meje depozita

v_n = kn \cdot \nabla u

pa lahko predpostavimo, da je difuzija časovno neodvisna in tako nadomestimo difuzijsko enačbo z Laplaceovo

\nabla^2 u = 0

katere rešitve nam napovejo hitrost rasti depozita. V članku iz leta 1990 z naslovom “Fractal aggregation and dendritic crystal growth” japonska fizika Makio in Yukito razlago za fraktalno strukturo v DLA procesih navajata dejstvo, da Lapalceovo polje, (aproksimacija difuzijskega polja), nima karakteristične dolžine.

Nihanja borznih tečajev

Kot zadnji primer aplikacije fraktalne geometrije si poglejmo povezavo med fraktali in gibanjem borznih tečajev. S tega stališča se je problema prvi lotil Mandelbrot, ko je preučeval več stoletna nihanja cene bombaža. Opazil je, da se nihanja niso ujemala z Gaussovsko porazdelitvijo, temveč se je dobilo veliko bolj natančne rezultate z Lévyjevo stabilno porazdelitvijo, ki kaže teoretično neskončno invarianco glede na merilo:

 f(x;c) = \sqrt{\frac{c}{2 \pi}} \frac{e^{c/2x}}{x^{3/2}}

V osnovi to pomeni, da se vsota nekaj izbranih vrednosti naključnega parametra spet pokorava isti porazdelitvi, a v večjem merilu. V reviji Scientific American je bil februarja 1999 objavljen Mandelbrotov članek “How Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street”, ki je bil nato še enkrat objavljen v isti reviji septembra 2008 v luči finančne krize. V članku je predstavljen argument o tem, da moderna teorija portfeljev, sicer temelj sodobne finančne matematike, ne predvideva nenadnih spustov in skokov borze, saj jih obravnava kot zelo malo verjetne. V nadaljnjem tudi piše, da posameznik, ki spremlja nihanje tečajev brez vnaprej podanega merila na oseh ne more vedeti, ali se nihanja borze nanašajo na tedensko, dnevno ali vsakourno spreminjanje, torej, izpostavi samopodobnost tečajev v različnih merilih. S tem se nihanja začne opisovati z iterativnim postopkom, podobno, kot pri Kochovi snežinki. Predstavljajmo si graf, kjer si na začetku izberemo neko ceno določenega artikla ali surovine, nato pa določimo grafu poljuben generator (v primeru Kochove snežinke bi to bili dve enakostranični daljici, ki ju vstavimo v sredinski del začetne daljice), ki mora odražati nihanje cen finančnih trgov. Na skici je to predstavljeno kot zlomljena črta, sestavljena iz treh daljic, saj generator z manj kot tremi daljicami ne bi ustrezal spreminjajočem tečaju. Ko nadomestimo premico konstantne cene z daljico generatorja, pa postopek ponovimo: na vsakem od treh odsekov interpoliramo originalni generator zlomljene premice, kjer pa se seveda merilo na x in y osi spremeni. Ko postopek nekajkrat ponovimo, vidimo, da dobljena krivulja začenja dobivati dokaj realno obliko borznih tečajev in nihanj cen. Seveda pa interpolacij ne moremo nadaljevati v neskončnost, saj tudi cen ne moremo spreminjati hitreje kot vsako minuto. Mandelbrot trdi, da je takšen model veliko boljši od portfeljevske teorije, saj s spreminjanjem začetnega generatorja lahko konstruiramo tržišča, ki se razlikujejo v stabilnosti. Če naprimer začetni generator spremenimo tako, da prvi del premice postane strmejši, se s časom – po interpolacijah – začne kazati večja “krhkost” tečaja, ki ga odražajo nepredvidljive fluktuacije. Spremenili smo aktivnost trga, ki sedaj v krajšem času beleži isto spremembo cene. Ti spremenjeni generatorji so multifraktali in vsak od njih po določenem številu interpolacij vrne precej drugačno sliko tečajnih nihanj. V zaključku Mandelbrot sklepa, da bi bilo smiselno v praksi multifraktale prirediti zgodovinskim podatkom nihanj z namenom predvideti nadalnje obnašanje tečajev.

Three piece fractal generator
 

Zaključek

Fraktalna geometrija je kljub svoji mladosti v znanosti pustila nezanemarljiv pečat. Veliko panog je osvetlila z drugega zornega kota in nakazala, da narava v resnici ni “gladka” in zvezna, temveč prav nasprotno, rigidna – a kljub temu upravljana z relativno preprostimi načeli, če gre verjeti matematičnim modelom, ki jo napovedujejo. Vsekakor se moramo zavedati, da so fraktali konec koncev le konstrukt, ki opisuje resničnost do določene mere, ker so v fizičnem svetu vidni le na nekih merilih. Podobno kot je v določenih merilih za računanje popolnoma dober model okrogle Zemlje . A modeli so tisto, kar nas v fiziki zanima, njihova uporabnost pa leži v napovedovanju točnih rezultatov.

Kam vodijo aplikacije teh modelov, ki fraktale tako dobro imitirajo, še ni povsem jasno. Z razvojem v teoriji kaosa in analizi dinamičnih sistemov si v prihodnje gotovo lahko obetamo še več novosti v tej smeri in čeprav fraktalna geometrija nikoli ni bila preveč spoštovana s strani čistih matematikov, saj v njej ni bilo nikoli preveč matematičnega formalizma, zaključimo z mislijo F. Hundertwasserja:

“In 1953 I realised that the straight line leads to the downfall of mankind. It has become an absolute tyranny. The straight line is something cowardly drawn with a rule, without thought or feeling; it is the line which does not exist in nature… Any design undertaken with the straight line will be stillborn. Today we are witnessing the triumph of rationalist knowhow and yet, at the same time, we find ourselves confronted with emptiness. An esthetic void, desert of uniformity, criminal sterility, loss of creative power. Even creativity is prefabricated. We have become impotent. We are no longer able to create. This is our real illiteracy.”

, ,

  1. #1 by Ana on November 18, 2009 - 18:04

    še nekaj slikic 3D fraktalov za oči si spočit: http://www.skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html

  2. #2 by Monica946 on December 21, 2016 - 09:25

    I’m glad to find this blog. I really appreciate your efforts and I am waiting for your further posts. Thanks!

(will not be published)