Archive for November, 2009

Človek, ki premika meje znanega

Informativna oddaja 24ur je profesorja dr. Marka Mikuža izbrala za ime tedna. Povezava do prispevka.

prof. dr. Mikuž v CERNu

prof. dr. Mikuž v CERNu

,

No Comments

LHC pripravljen za ponovni zagon

Članek je povzet po članku Large Hadron Collider ready to restart, objavljenem na spletni strani http://www.boston.com.

V CERNu pravijo, da bodo Veliki hadronski trkalnik (LHC) po skoraj enem letu popravil po lanski nesreči pognali še ta teden. 27km dolgi pospeševalnik delcev so pognali lani, nato pa se je v nesreči, pri kateri se je v cev pospeševalnika sprostilo nekaj ton tekočega helija poškovalo 53 od 9300 superprevodnih magnetov. Magnete je bilo potrebno zamenjati in celoten sistem ponovno umeriti. Objavljamo nekaj čudovitih fotografij iz Ženeve, ki prikazujejo pospeševanik pred, po in med popravili.

(Klik na veliko sliko jo pokaže v polni velikosti!)

Maximilien Brice, CERN

Maximilien Brice, CERN

Read the rest of this entry »

,

No Comments

dr. Borut Paul Kerševan na 24 ur

21. Novembra je bil na 24 ur objavljen Prispevek, v katerem prof. Kerševan poda izjavo o ponovnem zagonu LHC-ja. Izjava Slovencem približa dogajanje v Švici , še zlasti FMF-jevcem.

Borut Paul Kerševan

Janez

, , , , , ,

2 Comments

Fraktalne strukture

Na pobudo nekaterih študentov objavljam svoj seminar o fraktalnih strukturah, ki sem ga letos opravil pri istoimenskem predmetu. Uredništvo FMF revije vsem toplo priporoča, da se znebite te dolžnosti čimprej po prihodu v tretji letnik. Pripombe in komentarje sprejemam na mitja.drab@gmail.com.

fraktali v resničnem življenju :)

Zgodovinsko ozadje

V preteklosti se je matematika ukvarjala predvsem z množicami in funkcijami, na katerih so bile lahko izvedljive operacije klasične analize. Funkcije, ki niso bile gladke ali zvezne so veljale za nevredne obravnave in zato velikokrat prezrte. Bile so dojete kot samostojne zanimivosti in le redko se je zdelo, da bodo kdaj našle prostor v splošni teoriji. Zgodovinsko se je koncept fraktala prvič pojavil leta 1872, ko je Karl Weierstrass predstavil primer grafa funkcije, ki je bila povsod zvezna, a nikjer odvedljiva. Leta 1904 je Helge von Koch, nezadovoljen z Weierstrassovo abstraktno definicijo podal opis v bolj geometrični obliki z likom, ki je danes znan kot Kochova snežinka. Začnemo z enakostraničnim trikotnikom, kateremu nato na vsako srednjo tretjino stranice narišemo enakostranični daljici tako, da ti dve spet tvorita enakostraničen trikotnik. Ta postopek nato ponovimo na šestih stranicah teh manjših trikotnikov in tako naprej. Z vsako iteracijo povečamo obseg lika za tretjino prejšnjega. Obseg Kochove krivulje je po n-ti iteraciji enak

 O_n = 3a(\frac{4}{3})^n

Kochova snežinka 

Kochova snežinka je krivulja, ki nastane, ko gre število iteracij prek vseh meja, njena posebna lastnost pa je, da ima končno ploščino in neskončen obseg. Po še toliko iteracijah lahko namreč lik vedno orišemo s krogom radija R = a / √3. Kmalu se je od raznih matematikov pojavilo še več krivulj s podobnimi “pošastnimi” lastnostmi: Preproga Sierpinskega, Mengerjeva spužva (telo z neskončno površino in prostornino nič), Cantorjeva množica (imenovana tudi “Cantorjev prah”, ali interval [0,1], ki mu na začetku izrežemo srednjo tretjino, nato pa ostankoma – intervaloma [0, 1/3] in [2/3, 1] izrežemo srednji devetini ter postopek tako nadaljujemo na neizrezanih delih) ter Lévyjeva “C” krivulja, če naštejemo le nekatere. Raziskave so potekale tudi z iteracijami raznih funkcij v kompleksni ravnini (Poincaré, Klein, Julia), a zaradi omejenih sposobnosti vizualizacije in grafičnega prikaza znantnega napredka ni bilo do 60. let 20. stoletja.

Drug poglaviten vidik, ki je ločil te nove objekte od navadnih evklidskih likov pa je karakteristična dolžina. Vse like ali telesa lahko razdelimo v dve skupini glede na to ali imajo karakteristično dolžino ali ne. Karakteristična dolžina je neka tipična razdalja, ki definira velikost telesa, o katerem govorimo. Pri človeku je to lahko recimo njegova višina ali dolžina stopal, pri krogu premer. Liki in telesa brez karakteristične dolžine pa so v splošnem fraktali.

Prvi pomembni koraki v razvoju fraktalne geometrije so se pojavili, ko je poljski matematik Benoit Mendelbrot leta 1967 v reviji Science objavil članek “How long is the coast of Britain?”. V prvem delu članka govori o paradoksu dolžine obale, ki, presenetljivo, zavzema različne vrednosti v odvisnosti od merila, v katerem jo merimo, saj nima karakteristične dolžine. Paradoks je povsem empiričen: Če se odoločimo, da bomo izmerili dolžino obale v korakih po 200 kilometrov, bomo dobili manjši rezultat, kot, če bi jo merili v korakih po 50 kilometrov. Logika je preprosta, pri večjem merilu izpustimo lastnosti obale, ki so proti izbranemu merilu majhne, tako recimo pri koraku 10 kilometrov zanemarimo vse manjše zalivčke in rte. Da prikažemo netrivialnost te trditve, se vrnimo nazaj k meritvam, ki so enkrat tekle po korakih 200 km, drugič po 50 km. V prvem primeru dobimo rezultat za dolžino obale 2400 kilometrov, medtem ko pri le štirikrat manjšem merilu ta vrednost zraste za dodatnih tisoč kilometrov, torej na 3400. Problem ni bil prvotno predlagan z Mandelbrotove strani, nanj je nekaj let predhodno opozoril angleški znanstvenik Lewis Fry Richardson, ki je z empiričnimi opazovanji odkril povezavo med dolžino obale L in povečavo oziroma merilom G:

 L(G) = MG^{1-D}

Iz izraza je očitno, da dolžina ne limitira, ko gre povečava prek vseh meja. Zaradi tega je Mandelbrot sklepal, da imajo obale samopodobne lastnosti, ter da potenca D podaja njihovo Hausdorffovo dimenzijo. To je splošnejša oblika dimenzije, ki velja tudi za fraktalne objekte, kot bomo videli v nadaljevanju. Richardson na potenco ni obrnil veliko pozornosti. Mislil je, da je število odvisno od vsake obale posebej, ter da se razlikuje tudi za eno obalo pri različnih povečavah.

Read the rest of this entry »

, ,

2 Comments