Miselni eksperimenti za vsak žep


Znanost temelji na eksperimentih – z njimi potrdimo ali ovržemo teorije, testiramo nove ideje … Vendar pa ni potrebno vseh eksperimentov dejansko izvesti. Takemu, ki ga ni mogoče ali pa ni potrebe, da bi ga v resnici izvedli, lahko rečemo miselni preskus / eksperiment (skovanka, ki je maslo Nemcev, po njihovo Gedankenversuch oz. Gedankenexperiment). Glavna prednost je, da zanj ne potrebujemo kalkulatorja, Bronštajna ali kakšne Mathematice, celo papir je ponavadi odveč. Pa si jih oglejmo par.

Šprinterske želve, mirujoče puščice in nezmožnost gibanja

Gotovo ni bralca tega članka, ki še ni slišal za tekmovanje med Ahilom in želvo, za ta znani paradoks, ki kljubuje zdravi pameti, pa vendar … Glavni krivec je domnevno Zenon iz Eleja, grški filozof in zaprisežen zagovornik ideje, da je gibanje le iluzija. Idejo je opisal z vsaj osmimi paradoksi, od katerih so trije opisani v nadaljevanju.

Prvi (‘Achilles and the tortoise’) pravi, da počasnejšega tekača hitrejši nikoli ne bo mogel prehiteti, saj se bo počasnejši vedno premaknil za nekaj malega naprej, ko bo hitrejši dosegel njegovo prejšnje mesto. V mislih bi se nam celotna stvar mogoče še zdela smiselna, vendar ko se spomnimo na katerokoli atletsko tekmovanje, to kaj hitro propade. (Možna rešitev iz zagate paradoksa, bi bila, če bi lahko Ahil želvo, ko bi se ji dovolj približal, enostavno pograbil in prestavil kakšen meter za sabo, vendar bi to uničilo čar paradoksa, matematike pa razjezilo, kako smo lahko pomislili na tako trivialno rešitev.)

Drugi (‘Dichotomy paradox’) zanika zmožnost premikanja, saj moramo, da bi nekam prišli, najprej opraviti polovico poti, pred tem četrtino, pred tem osmino in tako v neskončnost. Da bi se premaknili za čisto majhen kos poti, bi tako morali opraviti neskončno korakov. Skratka, predstavljajte si tekača, ki po poku štartne pištole kot kip stoji za štartno črto, se zmedeno praska po glavi in razmišlja, kako naj sploh začne.

Za zadnjega (‘Arrow paradox’) si moramo zamisliti puščico v letu. Let je očitno zvezen, vendar pa če puščico pogledamo v vsakem trenutku, bo za vsak tak trenutek zasedala neko mesto in na njem mirovala. V nobenem trenutku se ne bo premikala, torej se sploh ne bo mogla premakniti.
Vsem trem argumentom pravimo paradoksi, saj očitno nasprotujejo našimi izkušnjami – v mislih ima vse skupaj še nekakšen smisel, kruta realnost pa jih kljub ‘utemeljeni logiki’ povozi na celi črti.

... in zato, gospa profesor, sem zamudil k pouku

Galileo in ‘vendar padata enako hitro’

Za dva dokaj znana miselna eksperimenta iz obdobja renesanse je zaslužen Galileo Galilei, ki mu egoistična trditev, da se vse vrti okoli nas, ni dala miru. Zagovorniki ideje o geocentričnem modelu (kjer Zemlja miruje v središču vesolja) so svoje ideje podprli tudi s trditvijo, da če bi se Zemlja vseeno premikala oziroma vrtela, bi mi to zagotovo čutili ali opazili (Jabolko vendar ne pade daleč od drevesa, če bi se Zemlja vrtela, bi se z njo tudi drevo in tako bi pustilo padlo jabolko nekje daleč na zahodu). Galileo si je zato zamislil primer, kjer bi se zaprli v ladijsko kabino in malce hodili naokoli, skakali, se žogali s prijateljem … enkrat, ko bi ladja mirovala in drugič, ko bi enakomerno plula. Opazili ne bi nobene razlike, še več, če bi zakrili vsa okna, niti ne bi mogli z gotovostjo trditi ali se sploh premikamo. Klasični princip relativnosti, ni kaj. Znana variacija poskusa je še s spuščanjem predmetov z jambora premikajoče se ladje, ki naj bi pristali ob njenem vznožju.

Drugi, bolj znan in po mnenju nekaterih ključen miselni eksperiment v znanosti, je poskušal ovreči zmotno mišljenje, da težje stvari padajo hitreje od lažjih. No, ja, če iz tretjega nadstropja spustimo kamen in pero, bo razlika opazna, očitno nam nagaja upor. Galilejev eksperiment je sledeč: Z vrha stolpa spustimo lažji in težji objekt, oba povezana z vrvico. Če lažji predmeti padajo počasneje, bo lažji zaviral težjega. Vendar je celoten sistem težji od težjega objekta samega in bi zato moral padati hitreje. Ker smo prišli do protislovja, lahko mirno rečemo 1:0 za Galilea. Čeprav krožijo zgodbice, da naj bi Galileo eksperiment tudi v praksi izvedel, in sicer tako, da je s poševnega stolpa v rodni Pisi spuščal krogli različnih mas, gledal, ali bosta istočasno pristali na tleh ter se pri tem še neizmerno zabaval, je poskus najverjetneje izvedel le v svoji glavi ter razmislek zapisal v svojem zadnjem delu Discorsi e dimostrazioni matematiche. Poskus so izvedli s peresom in kladivom celo na luni leta 1971, nekaj podobnega pa z veseljem kažejo tudi učitelji fizike, ko obračajo cev, v kateri sta pero in kroglica ter popolnoma nič drugega (na kratko, vakuum).

... in vendar tone ... če me niso spletni prevajalniki zavedli

Letala, ki ne letijo in opice, ki padajo z dreves

Preprost miselni poskus klasične mehanike je poskus z opico in lovcem. Zamislimo si, da bi s topom želeli zadeti opico, ki visi z veje bližnjega drevesa (seveda samo zamislimo, lepota miselnih poskusov je, da so resničnim živalim in okolju prijazni). Top usmerimo točno proti njej in ustrelimo, vendar se opica isti trenutek spusti z veje v upanju, da nam je pokvarila načrte. Vprašanje je, ali jo bomo zadeli. Odgovor je, ja, v vsakem primeru (če bo le top nesel do drevesa in nam upor ne bo preveč nagajal), opica si je s tem, ko se je spustila z veje, zapečatila usodo. Po krajšem razmisleku opazimo, da bosta topovski izstrelek in opica v istem času padla za enako veliko, saj na oba deluje isti gravitacijski pospešek. Morate pa priznati, da poskus močno spominja na nalogo pri vajah iz Fizike I.

Še en poskus je populariziral Richard Feynman. Imamo običajno škropilnico, ki ima šobe razporejene pod kotom na prosto vrtečem kolesu tako, da izhajajoči curki obračajo napravo. Zdaj pa si predstavljamo, da škropilnico potopimo v vodo in naredimo, da vodo skozi šobe srka v notranjost. Kam, če sploh kam, se bo vrtela taka naprava? Feynman je poskus celo poskusil izvesti, vendar je imel eksperiment eksplozivne posledice. Drugi, ki so poskus zasnovali malce bolje, so v večini primerov opazili, da se naprava sploh ne premakne (problem je v prevelikem trenju in neidealni tekočini), medtem ko bi idealna naprava kazala več znakov življenja.

Še eden iz serije podobnih poskusov je letalo na tekočem traku. Recimo, da bi avion rad vzletel, vendar je pod njim tekoči trak, ki se bo v vsakem trenutku vrtel s hitrostjo enako hitrosti aviona, a v nasprotni smeri. Ali lahko letalo vzleti? Eni pravijo ja, drugi ne, dosti je odvisno od interpretacije, kolikšno hitrost ima dejansko tekoči trak – hitrost točke na obodu kolesa, hitrost, ki jo kaže merilec hitrosti ali kaj tretjega? Navsezadnje, letala ne poganjajo kolesa, temveč motorji, v čem je torej problem?

V termodinamiki nekaj straši … mar je to … Maxwellov duh?

Tudi termodinamika ni brez svojih miselnih eksperimentov – Maxwell si je zamislil poskus, ki ne samo krši zakone termodinamike, temveč tudi podpira obstoj duhov oz. demonov. Predstavljajmo si posodo napolnjeno s plinom pri isti temperaturi in z loputo razdeljeno na dva dela, A in B. Na meji imamo duha/demona, ki opazuje gibanje molekul in lahko brez dela odpre loputo ter tako spusti molekule iz enega dela v drugega. Če se v delu A loputi približuje molekula, ki ima hitrost višjo od povprečne, jo duh spusti skozi, obratno velja za B, skozi spusti molekule s hitrostjo nižjo od povprečne. Sčasoma bo tako temperatura (ki je povezana s povprečno hitrostjo molekul) v B narasla in v A padla, kar je v nasprotju z drugim zakonom termodinamike. Ker pa zakonov ni lepo kršiti, so znanstveniki ovrgli trditev, da poskus zmanjša entropijo, večinoma na podlagi dejstva, da ta prekleti duh vseeno opravlja nekaj dela (vsaj z merjenjem hitrosti molekul), ker s tem bolj zviša entropijo, kot bi jo z omogočanjem prehoda molekul znižal.

Mami, a lahko ujamem svetlobo?

Za teorijo relativnosti (posebno in splošno) lahko rečemo, da je produkt mnogih miselnih eksperimentov. Ker so posledice hitrega gibanja (povečanje mase, skrajšanje dolžin v smeri gibanja) opazne šele pri hitrostih blizu svetlobni, z njimi pa nimamo dosti opravka v vsakdanjem življenju, tudi težko intuitivno sklepamo o čem takem. Einstein je razmišljal, kaj bi se dogajalo, če bi potoval s hitrostjo blizu svetlobni ali pa celo večjo ter naletel na marsikatero protislovje in nenavadno odkritje. ‘Osnovne’ miselne poskuse iz relativnosti si lahko ogledate v kvarkadabrinem članku .

Dva znana paradoksa in miselna poskusa sta paradoks dvojčkov in paradoks z lestvijo. Pri prvem pošljemo v vesolje enega od dvojčkov (recimo do najbližje zvezde in nazaj), ki bo ob vrnitvi ugotovil, da se je njegov brat mnogo bolj postaral, kar pa je iz njegovega zornega kota nesmisel, saj bi lahko rekli, da je miroval in se je Zemlja z bratom oddaljevala v drugi smeri. A problem ni simetričen, saj je potujoči brat pospeševal in zaviral, medtem ko bi drugi dvojček lahko mirno lebdel v vesolju in čakal na bratovo vrnitev. Pri drugem imamo lestev, ki je predolga, da bi jo spravili v garažo (mogoče bi to uspelo Dirku Gentlyu, če mu je že z zofo uspel podoben podvig). Če pa bi lestev potovala s tako veliko hitrostjo, da bi iz sistema garaže videli dovolj skrčeno lestev, bi jo lahko spravili vanjo – ko bi vsa prišla znotraj garaže, bi preprosto zaprli sprednja in zadnja vrata. Vendar tega ne moremo narediti, saj bo garaža, če gledamo iz sistema lestve, še krajša kot prej in zatorej ni načina, da bi še danes končali z njenim pospravljanjem. Glavni problem paradoksa je, da pojem ‘sočasno’ ni enak za oba opazovalna sistema.

v bistvu se vprašanje glasi, kaj dela Einstein na FMF-ju?

Neodločene/nedoločene mačke in kvantna mehanika

Še eno področje, kjer mrgoli nenavadnih poskusov, je kvantna mehanika. Tu naletimo na sloviti eksperiment s Schrödingerjevo mačko, katerega glavni namen je bil pokazati, da bodo nate gledali zelo čudno in zavijali z očmi, če boš odkritja iz kvantne mehanike v mikroskopskem sistemu (osnovni delci) poskušal prenesti v makroskopskega (mačka). Poskus je sledeč: V zaprti škatli imamo mačko, zraven pa radioaktivno atomsko jedro, katerega razpolovni čas je ena ura (tako je možnost 50%, da v tem času razpade ali pa ne), Geigerjev števec, kladivo in stekleničko smrtonosnega strupa (Schrödingerju se je zdel primeren vodikov cianid). Če pride do razpada, bo števec to zaznal in sprožil kladivo, ki bo razbilo stekleničko. Tako imamo v škatli, tik preden jo po eni uri odpremo, mačko, ki je živa in mrtva hkrati, mešanica obeh stanj, in šele, ko bomo škatlo odprli, bomo lahko določili, v katerem od dveh možnih stanj je. Schrödinger na tem mestu postavi vprašanje: »Kdaj sistem preneha obstajati kot mešanica obeh stanj in postane ali eno ali drugo?« Po eni interpretaciji je to, ko izvedemo meritev, vendar v našem primeru le-ta ni dobro definirana. Je to, ko odpremo škatlo? Kaj pa če pošljemo prijatelja, da pogleda, kaj se je zgodilo (nadaljevanje miselnega preskusa, ki se imenuje Wignerjev prijatelj)? Bo v tem primeru trenutek meritve, ko bo prijatelj pogledal v škatlo ali ko nam bo posredoval informacijo o izidu?

Kdor bi rad prebral še kaj o miselnih poskusih iz kvantne mehanike, naj si ogleda še: Heisenbergov mikroskop, kvantni samomor, Einstein–Podolsky–Rosenov paradoks in drugo
vse to očitno nakazuje, da je bil Schrödinger 'not a cat person'

»Biti ali ne biti, to je seasdjOIDksLdfionsdfn ah ahDbb…«

Še en poskus z živalmi spada v področje verjetnosti. Pravi, da bi opica, ki bi ji dali pisalni stroj in neskončno časa, skoraj zagotovo napisala Hamleta (ali katerokoli drugo literarno delo). V tem primeru opica predstavlja generator naključnih znakov, skoraj zagotovo pa dejansko pomeni ‘ja, stvar se bo zgodila, če nam le ne bo zmanjkalo papirja’. Na prvi pogled se zdi, da z udarjanjem naključnih tipk ne bomo mogli proizvesti tako kompleksnega dela, kot je Hamlet. Ja, verjetnost je izjemno majhna, vendar ne smemo pozabiti, da imamo na voljo neskončno časa, ne samo toliko, kolikor je staro vesolje, temveč mnogo, mnogo več … v tako dolgem obdobju se bo zgodila vsaka stvar, katere verjetnost ni 0. Skoraj neverjetne verjetnosti in nepregledni nizi naključno nametanih znakov pa niso odvrnili posameznikov, da bi eksperiment poskusili izvesti v praksi. Neki skupini je uspelo dobiti niz 19 znakov, ki ga lahko najdemo v Shakespearjevem delu Dva gospoda iz Verone, vendar bi za tak dosežek opice morale tipkati bilijone in bilijone let (in še malce dlje). Druge skupine so proizvedle še nekaj krajših delčkov Shakespearjevih tekstov, spletna stran The Monkey Shakespeare Simulator pa je (čeprav na malce drugačen način) proizvedla 24 znakov dolg odsek iz igre Henrik IV, drugi del. Poskus je bil izveden tudi z dejanskimi opicami, a rezultat ni bil pretirano osupljiv. Opicam je v mesecu dni namreč uspelo napisati le 5 strani teksta, večinoma sestavljenega iz črke s, poleg tega pa so se še z največjim veseljem znesle nad ubogim pisalnim strojem.

primer dadaistične poezije: aaAAAghhhh eeeEehhhžžž ...

Neskončnost, neskončnost, neskončnost, neskončnost, neskončnost …

Miselni eksperimenti so v matematiki (in tudi v logiki) zelo cenjena zadeva. Mnogo le-teh si da opravka z raziskovanjem in razumevanjem neskončnosti – primer je Hilbertov Grand hotel, polno zaseden hotel z neskončno sobami. Če bi v navaden polno zaseden hotel prišel še nekdo in prosil za prenočišče, bi ga zaradi pomanjkanja prostora morali zavrniti, a to se v hotelu iz miselnega poskusa ne more zgoditi. Če se vsak gost premakne za eno sobo naprej, bodo še vedno vsi imeli sobo, po novem pa bo imel kje prespati tudi novinec. Če pride neskončno novih gostov, spet ni problema, vsak stari gost se preseli v dvakratnik številke svoje sobe, prišleki pa zasedejo preostale lihe sobe (seveda je tu priporočljivo imeti enako močne neskončne množice gostov). V realnosti nimamo ravno pogosto opravka s hoteli z neskončno kapaciteto, zato so miselni preskusi prav dobrodošli.

Podobno igračkanje z neskončnostjo je problem žogic v vazi. Imamo prazno vazo, neskončno zalogo žog, z vsakim korakom pa dodamo deset žog in odstranimo žogo, ki ima najnižjo številko. Korake ponavljamo v takšnih razmakih, da je vsak naslednji za polovico krajši, tako da če začnemo z našo igrico ob enajstih in čez pol ure opravimo drugi korak, bo igra trajala do opoldneva. Zanima nas, koliko žog bo v vazi ob tej uri? Z različnimi pristopi so očitne različne rešitve – posoda je prazna, saj smo vsako žogo enkrat odstranili; v posodi je neskončno žog, saj bo v posodi vedno ostalo 9-krat toliko žog, kolikor korakov smo naredili; mogoče pa tega trenutka nikoli ne bomo dosegli (kar bi z veseljem trdil Zenon).

Še en primer igranja z neskončnostjo je Thomsonova svetilka (proglasimo jo lahko za rahlo prirejen Zenonov paradoks), kjer svetilko prižigamo in ugašamo v presledkih omenjenih v prejšnjem odstavku. Vprašanje je, ali bo žarnica na koncu prižgana ali ugasnjena? Če bi prižganemu stanju dali vrednost 1 in ugasnjenemu 0, bi potek lahko zapisali kot vsoto S = 1-1+1-1+1-1+1-1+1 …, ki pa v neskončnosti na žalost divergira. Če vsoto preuredimo v S = 1-(1+1-1+1-1+1-1 …), lahko izraz zapišemo kot S = 1-S, kar nam da rešitev 1/2. Ampak, kaj to sploh pomeni v našem primeru? Je žarnica napol prižgana ali napol ugasnjena? O paradoksu bo očitno potrebno še razmisliti …

v bistvu bo nekako napol medlo brlela in trdila, da je hkrati 0 in 1

In za posladek, mačka z namazanim kosom kruha na hrbtu

Za konec še bolj ali manj hudomušen miselni preskus, ki združuje reka, da mačke vedno pristanejo na nogah, kruh pa na namazani strani (kar je povzročalo mnogo preglavic gospodu Murphyu). Vprašanje je, kaj bi se zgodilo, če bi mački na hrbet privezali namazan kos kruha in jo spustili iz prvega nadstropja. Mačka bi se seveda poskusila obrniti in pristati na nogah, vendar ji Murphyev zakon tega ne bi dovoljeval in mačka bi se obrnila z namazano stranjo navzdol. Postopek bi se tako nadaljeval v neskončnost, mačka z namazanim kruhom pa bi se divje vrtela nekaj decimetrov nad tlemi. Prav zaradi tega so marsikateri šaljivci to ‘napravo’ predlagali za rešitev naših energetskih težav – delujoči perpetuum mobile.

naslednjič grem raje v Gardaland

(P.S. skeptike, ki bi brž pridrveli v uredništvo s trditvami, da ne padejo vse mačke na noge (vsaj ne z višine npr. 10 cm) in da je to, ali pade kruh na namazano stran odvisno od višine mize, pozivam, da se sprijaznijo z dejstvom, da je poskus namenjen zgolj zabavi in naj ga ne poskušajo pokvariti z realnim pogledom na svet)

(Viri: večinoma Wikipedia pa tudi nešteven kup povezav, ki vodijo s te strani v širni splet)

Ana

, , ,

  1. #1 by Marko on July 20, 2009 - 11:38

    Me likes! Oujeah 🙂

  2. #2 by brezimenko on August 14, 2009 - 20:43

    Verjetnost, da kruh pade na namazano stran, je premosorazmerna s ceno preproge na tleh 🙂

(will not be published)