Problemi za milijon dolarjev


The Clay Mathematics Institute (CMI) of Cambridge, Massachusetts (http://www.claymath.org) je 24. maja 2000 v okviru Millennium Meeting-a razglasil sedem največjih še nerešenih problemov matematike in ustanovil fond, vreden $7.000.000, za rešitve teh problemov – $1mio za vsako.

Na odločitev, katere probleme uvrstiti med največjih 7, je vplivalo tudi predavanje Davida Hilberta 8. Avgusta 1900, v katerem je navedel svoj seznam 23. problemov. Problemi pa so naslednji:

1. Domneva Bircha in Swinnerton-Dyera
2. Domneva Hodgea
3.
Obstoj in gladkost rešitev Navier–Stokesovih enačb
4.
P = NP
5.
Poincaréjeva domneva
6.
Riemannova hipoteza
7.
Obstoj teorije Yanga in Millsa in “masna vrzel”

 

Hilbert curve

Hilbert curve

 

 

1. Domneva Bircha in Swinnerton-Dyera 

Birch in Swinnerton-Dyerjeva domneva je eden izmed najpomembnejših problemov teorije števil in povezuje rang abelove grupe točk, ki so rešitve na primer diofantske enačbe x2 + y2 = z2 z obnašanjem zeta funkcije ζ(s) v okolici točke s=1.

Še posebej pravi, da je Taylorjev razvoj funkcije L(E, s) v točki s=1 dan kot:

L(E,s) = c(s-1)^r + \v{c}leni\; vi\v{s}jih\; redov
kjer je c neničelna konstanta in r omenjeni rang abelove grupe.

2. Hodgeova domneva

Hodgeova domneva je eden največjih nerešenih problemov algebrske geometrije in povezuje algebrsko topologijo nesingularnih kompleksnih algebraičnih varietet in podvarietet teh varietet.

Varieteta (angleško variety) je množica (končna ali neskončna) točk, za katere polinom ali množica polinomov zavzame vrednost nič, pri čemer je beseda varieteta uporabljena v smislu matematične mnogoterosti.

Matematiki so razvili posebne metode za opisovanje in aproksimiranje zapletenih objektov in z “lepljenjem” preprostih geometrijskih koščkov naraščujočih dimenzij. V vedno bolj abstraktnem opisu teh postopkov pa so se izgubile sledi o geometrijskem izvoru, tako da so se skupaj “lepili” koščki zelo čudnih oblik in dimenzij, nazadnje brez geometričnih interpretacij.

Domneva pa je, da za posebno lepe tipe prostorov, imenovanih projektivne algebraične varietete, velja, da so koščki imenovani Hodgeovi cikli v bistvu (linearne) kombinacije geometričnih koščkov imenovanih algebraični cikli.

3. Navier-Stokesove enačbe

Navier-Stokesove enačbe so eden od temeljev mehanike tekočin (kapljevin in plinov), saj opisujejo njihovo gibanje. Matematično so sistem parcialnih diferencialnih enačb, ki jih dobimo tako, da upoštevamo Newtonow drugi zakon, mehansko napetost, viskozno difuzijo (sorazmerna z gradientom hitrosti) in tlak.

So ene od najbolj uporabnih enačb, saj z njimi lahko opišemo veliko število pojavov; modeliramo lahko vreme, vodne tokove v oceanih, tok vode po cevi, tok zraka okoli krila letala ter celo gibanje zvezd v galaksiji.

Rešitve teh enačb obstajajo in se pogosto uporabljajo, teoretično razumevanje  rešitev in njihovega ozadja pa je še zelo slabo. Za tridimenzionalni sistem enačb z danimi začetnimi pogoji ne obstaja dokaz, da gladke rešitve vedno obstajajo in da imajo omejeno kinetično energijo. Ta problem se imenuje Problem obstoja in gladkosti.

 

Navier Stokes

Navier Stokes

4. P = NP

“P = NP” je vprašanje razmerja med razredoma računske zahtevnosti P in NP in je eno najpomembnejših vprašanj teoretičnega računalništva oz. teorije izračunljivosti.

V razredu P so odločitveni problemi (odgovor je “da” ali “ne”), za katere obstajajo polinomski algoritmi. To pomeni, da je čas reševanja teh problemov polinomska funkcija njihove velikosti.
*(Kot zanimivost: leta 2000 je bilo dokazano, da za problem preverjanja, ali je neko število praštevilo, obstaja polinomski algoritem.)

NP pa je kratica za “nedeterministični polinomski čas”. V razredu NP so torej vsi odločitveni problemi, za katere se rešitev da preveriti v polinomskem času, čeprav morda ni očitno, kako bi kako rešitev hitro našli.

Razred P je vsebovan v razredu NP, vendar pa je znano, da obstaja tudi veliko problemov znotraj NP (pravimo jim NP-polni), za katere ne poznamo polinomskih algoritmov (ne pomeni, da niso rešljivi; obstajajo na primer eksponentni algoritmi). Vprašanje P = NP je v bistvu vprašanje, ali taki algoritmi za NP-polne probleme sploh obstajajo.

Zanimiv primer NP-polnega problema je ti. problem trgovskih poti, o katerem lahko več preberemo na tej strani.

5. Poincaréjeva domneva

V topologiji je sfera z 2-dimenzionalno površino karakterizirana s tem, da je enostavno povezano območje. Prav tako drži, da je vsako 2-dimenzionalno območje, ki je hkrati kompaktno in enostavno povezano, topološko gledano sfera. Poincaréjeva domneva je, da to drži tudi za sfere s 3-dimenzionalno površino, kar je bistvo karakterizacije trirazsežnih topoloških mnogoterosti.

Območje D je enostavno povezano, če vsako sklenjeno pot v D lahko deformiramo v točko v območju D. Se pravi, da za vsako sklenjeno pot v D obstaja homotopija med to potjo in točko v območju D.

Mnogoterost (ang. manifold) je topološki prostor, katerega struktura je podobna Evklidski, če ga opazujemo dovolj od blizu, lahko pa ima tudi zapleteno strukturo, če ga gledamo od daleč. Se pravi, da ima vsaka točka okolico, ki je podobna (i.e. homeomorfna) Evklidskemu prostoru. Mnogoterost lahko konstruiramo tako, da jo “zlepimo” skupaj iz več Evklidskih prostorov.
Primer topološke mnogoterosti je sfera. Vsota kotov v trikotniku na sferi ni 180°, saj sfera ni Evklidski prostor. Za majhne trikotnike pa je vsota blizu 180°.

ZANIMIVO: Domnevo je leta 2003 dokazal Grigori Perelman. Sprejeta je bila avgusta 2006 in Perelman je bil izbran za prejemnika Fieldsove Medalje. Nagrado je zavrnil, prav tako pa (najbrž nalašč) še ni izpolnil pogojev za pridobitev nagrade Clay institute-a, ki mu pripada za pravilen dokaz domneve. (O rešitvi.) Perelman je v resnici dokazal še več, saj je dokazal Thurstonovo domnevo (o geometrizaciji), za katero je Poincaréjeva domneva le poseben primer. Težave pri sprejetju dokaza so bile, saj je Perelman v svojem dokazu podal “Perelmanov teorem 7.4” brez dokaza. Pretekla so tri leta in sedaj imamo kar tri različne dokaze tega teorema. Iz tega teorema pa konjektura “hitro sledi.”
UPDATE: 18. marca 2010 je bilo razglašeno, da je izpolnil pogoje za pridobitev nagrade, ki pa je najverjetneje tudi zdaj ne bo sprejel.

In an ordinary 2-sphere, any loop can be continuously tightened to a point on the surface. Does this condition characterize the 2-sphere? The answer is yes, and it has been known for a long time. The Poincaré conjecture asks the same question for the 3-sphere, which is more difficult to visualize.

"In an ordinary 2-sphere, any loop can be continuously tightened to a point on the surface. Does this condition characterize the 2-sphere? The answer is yes, and it has been known for a long time. The Poincaré conjecture asks the same question for the 3-sphere, which is more difficult to visualize."

6. Reimannova hipoteza

Reimannova hipoteza pravi, da imajo vse netrivialne ničle Reimannove zeta funkcije realni del Re = 1/2. Dokaz te trditve bi imel velike posledice v teoriji števil, posebej so te ničle povezane z distribucijo praštevil.

Riemannova zeta funkcija ζ(s) je definirana za vsa  kompleksna števila, s ≠ 1, in ima ničle tudi za negativna naravna števila ( pri s = −2, s = −4, s = −6, …). Te se imenujejo trivialne ničle. Vse netrivialne ničle torej ležijo na t.i. kritični črti, ½ + it, kjer je t realno število in i imaginarna enota.

Critical line

"The real part (red) and imaginary part (blue) of the Riemann zeta-function along the critical line Re(s) = 1/2. The first non-trivial zeros can be seen at Im(s) = ±14.135, ±21.022 and ±25.011."

Definirana je z neskončno vrsto:

\zeta(s) \,\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1^s} \;= \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots
ki konvergira absolutno na odprti polravnini za Re(s) > 1 in divergira na odprti polravnini za Re(s) < 1. Funkcijo, definirano z vsoto vrste na polravnini konvergence, se da zvezno razširiti na vsa kompleksna števila za s ≠ 1. Za s = 1 pa je funkcija formalno enaka vsoti harmonične vrste in divergira. Zeta funkcija postane holomorfna funkcija kompleksne spremenljivke na območju {s ∈ C : s ≠ 1} kompleksne ravnine in ima enostaven pol pri s = 1 z residuom 1.

Reimann zeta function (real)

Reimann zeta function (real)

Reimann zeta function (complex)

Reimann zeta function (complex)

7. Obstoj teorije Yanga in Millsa in “masna vrzel”

Teorija Yanga in Millsa je v fiziki posplošitev Maxwellove teorije elektromagnetizma, kjer kromo-elektromagnetno polje samo nosi naboj in je danes osnova osnovne teorije delcev. Njene napovedi so bile testirane v veliko eksperimentalnih laboratorijih, a vendar sta njena teoretična osnova in ozadje še vedno nejasna.

Kot klasična teorija polja ima rešitve, ki potujejo s hitrostjo svetlobe tako, da bi njihove “kvantne verzije” opisovale brezmasne delce – gluone. Za gluone, ki so nosilci barvne interakcije, pa so dovoljena samo vezana stanja in ta tvorijo masne delce. Zato nastane “masna vrzel”, ki je tudi osrednji del problema.

Članek o Kvantni kromodinamiki, ki se navezuje na temo.

Več o Problemih za milijon dolarjev si lahko preberete tudi na uradni strani, pravila pa najdete tukaj.

Benjamin

, , , , , , , , , , ,

  1. #1 by xray on April 20, 2009 - 10:24

    če se ne motim, je poincarejevo hipotezo nedavno dokazal grigorij perlman.

  2. #2 by admin on April 20, 2009 - 11:14

    Res je! Če podrobno pogledaš v članku tudi piše, da je bil nominiran za Fieldsovo medaljo, ki je ni sprejel, prav tako pa (namenoma?) ni izpolnil pogojev za pridobitev 1$mio nagrade, ki jo za pravilno rešitev problema ponuja Clay institute.

(will not be published)